兩張全等正方形紙的對角線都是 28 公分，重疊區域是正方形。若總覆蓋面積是 720 平方公分，求重疊部分的邊長。

Step-by-step solution

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   由對角線求出一張紙的面積。

   $A=\frac{d^2}{2}=\frac{28^2}{2}=\frac{784}{2}=392\ \text{cm}^2$

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   把兩張紙加起來。 這會把重疊區域算兩次：

   $392+392=784\ \text{cm}^2$

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   配合題目給的覆蓋面積，套用排容原理。

   $|A\cap B|=784-720=64\ \text{cm}^2$

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   取出重疊正方形的邊長。

   $s=\sqrt{64}=8\ \text{cm}$

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   檢查一下，順便看看這類題目什麼時候會失效。 每張紙的邊長是 $\tfrac{28}{\sqrt2}\approx 19.8$ 公分，比 $8$ 公分大得多 $\checkmark$，而且 $784-64=720$ $\checkmark$。只有當差 $\tfrac{d^2}{2}\cdot 2-|A\cup B|$ 剛好是完全平方數時，這個方法才給得出整數邊長：例如 $d=24$ 配上覆蓋面積 $528$，重疊面積會是 $48$，它的平方根是無理數，所以那個組合不可能有整數答案。