兩個同心圓共用圓心，外圓周長 132 英吋，內圓半徑 17.5 英吋。取 π = 22/7，求兩圓之間圓環的面積。

Step-by-step solution

1. 1

   由周長求出外圓的半徑。

   $R=\frac{132}{2\pi}=\frac{132}{\frac{44}{7}}=132\cdot\frac{7}{44}=3\cdot 7=21\ \text{in}.$

   在 $\pi=\tfrac{22}{7}$ 之下，$44$ 剛好可以整除 $132$ 三次，所以不會出現小數。

2. 2

   把圓環面積寫成兩個圓面積之差。 圓環就是大圓盤挖掉小圓盤：

   $A_{\text{圓環}}=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right).$

3. 3

   用平方差因式分解，不必把兩個半徑都平方。

   $R^{2}-r^{2}=(R-r)(R+r)=(21-17.5)(21+17.5)=3.5\times 38.5.$

   這樣就不必計算 $441-306.25$，數字也保持得很小——這正是因式分解的用意。

4. 4

   乘開。

   $3.5\times 38.5=134.75,$

   所以

   $A_{\text{圓環}}=\frac{22}{7}\times 134.75.$

5. 5

   用精確的分數收尾。 寫成 $3.5=\tfrac72$ 就能把 $7$ 約掉：

   $A_{\text{圓環}}=\frac{22}{7}\cdot\frac{7}{2}\cdot 38.5=11\times 38.5=423.5\ \text{in}^2.$

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   用直接算法交叉驗算。 $\pi R^2=\tfrac{22}{7}(441)=1386$，而 $\pi r^2=\tfrac{22}{7}(306.25)=962.5$；兩者之差是 $1386-962.5=423.5\ \text{in}^2$ ✓。