三角形 ABC 中 AB = AC，且 D 是 BC 的中點。證明 AD 垂直於 BC。

Step-by-step solution

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   先列清楚已知條件，以及「垂直」要求我們證出什麼。 已知 $AB=AC$（等腰三角形，底邊為 $BC$）與 $BD=DC$（中點的定義）。要證 $AD\perp BC$，就必須說明 $\angle ADB$ 或 $\angle ADC$ 其中之一等於 $90^\circ$。策略是先證這兩個角相等，再利用它們落在同一條直線上，逼出兩者都是直角。這比直接去算某個角乾淨得多。

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   比較三角形 $ABD$ 與 $ACD$。 線段 $AD$ 把原三角形切成兩個小三角形，把它們的元素一一對上：

   $AB=AC\quad(\text{given})$

   $BD=DC\quad(D\text{ is the midpoint of }BC)$

   $AD=AD\quad(\text{common side})$

   每一組都對得上，所以這是三邊對三邊。

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   由 SSS 得全等。 依邊邊邊（SSS）判定，

   $\triangle ABD\cong\triangle ACD$

   這裡選 SSS 才對，因為題給的三個條件全部是長度；完全沒有角的資訊，用 SAS 或 ASA 都得額外假設一個未經證明的東西。

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   把相等關係轉移到 $D$ 處的角。 全等三角形的對應部分相等，而第一個三角形的 $\angle ADB$ 對應第二個的 $\angle ADC$：

   $\angle ADB=\angle ADC$

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   用直線 $BDC$ 把角的值釘在 $90^\circ$。 因為 $D$ 落在線段 $BC$ 上、位於 $B$ 與 $C$ 之間，這兩個角構成線性對而互補：

   $\angle ADB+\angle ADC=180^\circ$

   代入上一步的等式得 $2\angle ADB=180^\circ$，於是

   $\angle ADB=\angle ADC=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad AD\perp BC$

   兩個事實都不可少：光是兩角相等推不出 $90^\circ$，光是兩角互補也推不出來。是兩者合起來才把證明收尾。

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   用座標法驗證。 把底邊對稱地放好：$B=(-b,0)$、$C=(b,0)$，於是中點 $D=(0,0)$。條件 $AB=AC$ 迫使 $A$ 與 $B$、$C$ 等距，即 $A=(0,h)$（某個 $h\neq0$）。那麼 $\vec{DA}=(0,h)$、$\vec{DC}=(b,0)$，兩者的內積為

   $\vec{DA}\cdot\vec{DC}=0\cdot b+h\cdot0=0$

   內積為零就代表兩線段垂直，印證了前面的綜合幾何證明。附帶一個收穫：同一張圖也顯示 $AD$ 同時是中線、高、$A$ 處的角平分線，以及 $BC$ 的中垂線 —— 這四者恰好在三角形為等腰時重合。