求一個梯形的面積，已知它的兩條對角線長為 15 和 7，中線（中位線）長為 10。

Step-by-step solution

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   先把已知條件塞進標準面積公式。 對兩平行邊為 $a$、$b$，高為 $h$ 的梯形，

   $S=\frac{a+b}{2}\,h=m\,h$

   其中 $m$ 是中線。這裡 $m=10$，所以 $S=10h$，且 $a+b=2m=20$。現在整題只卡在高上，而題目根本沒直接給高。

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   把一條對角線平移，好把已知條件收進同一個三角形。 把對角線 $BD$ 沿向量 $\vec{DC}$（也就是沿平行邊的方向）平移，端點會落在較長底邊的延長線上，形成一個三邊為兩條對角線 $15$、$7$ 與底邊 $a+b=20$ 的三角形。這是關鍵一步：平移既不改對角線長度，也不改圖形的高。

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   說明為什麼這個三角形與梯形等面積。 新三角形的底是 $a+b=20$，高與梯形相同為 $h$，所以面積為 $\tfrac12(a+b)h=\tfrac{a+b}{2}h$ —— 正好就是梯形面積。因此算這個三角形的面積就是算梯形的面積。

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   對三邊 15、7、20 的三角形用海龍公式。 先確認它存在：$15+7=22>20$。半周長為

   $s=\frac{15+7+20}{2}=21$

   於是

   $S=\sqrt{21(21-15)(21-7)(21-20)}=\sqrt{21\cdot 6\cdot 14\cdot 1}=\sqrt{1764}=42$

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   直接求高來驗算。 把兩條對角線投影到底邊方向，水平投影 $x$ 與 $20-x$ 滿足

   $15^2=x^2+h^2,\qquad 7^2=(20-x)^2+h^2$

   相減消去 $h^2$：

   $225-49=x^2-(20-x)^2=40x-400\;\Longrightarrow\;40x=576\;\Longrightarrow\;x=14.4$

   再得 $h^2=225-14.4^2=225-207.36=17.64$，故 $h=4.2$，

   $S=10\cdot 4.2=42$

   兩種獨立方法一致，所以面積是 $42$。