求 A(−1, 1) 與 B(1, 6) 的距離，以及 C(5, 0) 與 D(4, 2) 的距離，並指出哪一條線段比較長。

Step-by-step solution

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   寫下距離公式，並弄清楚為什麼正負號無所謂。 對於點 $(x_1,y_1)$ 與 $(x_2,y_2)$，

   $d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}.$

   兩個差都會被平方，所以反過來相減也得到同樣的距離——當某個座標是負數時，這一點特別讓人安心。

2. 2

   算出 A 與 B 的座標差。

   $x_2-x_1=1-(-1)=2,\qquad y_2-y_1=6-1=5.$

   雙重負號是唯一容易鑽進錯誤的地方：$1-(-1)$ 是 $2$，不是 $0$。

3. 3

   求出 AB。

   $AB=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\approx 5.385.$

   $29$ 是質數，所以這個根式沒辦法再化簡。

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   算出 C 與 D 的座標差，再求 CD。

   $x_2-x_1=4-5=-1,\qquad y_2-y_1=2-0=2,$
   $CD=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\approx 2.236.$

   如同前面所說，負的差在平方後就消失了。

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   比較大小。 $\sqrt{29}>\sqrt{5}$，因為 $29>5$ 而平方根是遞增的，所以 $AB$ 是比較長的那一條——大約是 $2.4$ 倍長。

6. 6

   用畢氏定理的圖像檢查。 $AB$ 是兩股為 $2$ 與 $5$ 的直角三角形斜邊；$CD$ 則是兩股為 $1$ 與 $2$ 的直角三角形斜邊。距離公式不過就是把畢氏定理用在這些股上而已。