求點 (3, 1, 2) 到點 (1, 4, −1) 的距離。

Step-by-step solution

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   使用三維的距離公式。 它就是把畢氏定理用兩次——一次在水平面上，一次在鉛直方向——這也是為什麼第三個平方項只是自然地加進另外兩項：

   $d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}$

2. 2

   算出三個座標差。 用一致的順序相減（第二點減第一點）：

   $\Delta x=1-3=-2,\qquad \Delta y=4-1=3,\qquad \Delta z=-1-2=-3$

   順序到頭來無所謂，因為每個差馬上就要被平方——但在不同座標之間混用順序就會出事。

3. 3

   把每個差平方。

   $(-2)^{2}=4,\qquad 3^{2}=9,\qquad (-3)^{2}=9$

   注意 $(-3)^{2}=+9$：正是平方讓距離與方向無關。

4. 4

   相加後開平方根。

   $d=\sqrt{4+9+9}=\sqrt{22}$

   因為 $22=2\times 11$ 沒有平方因數，$\sqrt{22}$ 無法再化簡。

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   寫出小數值並檢查合理性。 $\sqrt{22}\approx 4.6904$。檢查一下：最大的單一座標差是 $3$，距離必定超過它，卻要小於 $2+3+3=8$；$4.69$ 舒服地落在這個範圍內 ✓。