邊長 4、8、11 可以構成幾個相異的三角形？

Step-by-step solution

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   先認清該用哪一種存在性檢驗。 三條邊都給了，所以這是 SSS 的情況。不像 SSA，SSS 從不產生模稜兩可的情形：只要三角形存在，在全等的意義下就是唯一的。所以答案只可能是 $0$ 或 $1$。

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   寫出三角形不等式。 三個正的長度能構成三角形，充要條件是每一個都短於另外兩個之和：

   $a+b>c,\qquad a+c>b,\qquad b+c>a$

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   用 $a=4$、$b=8$、$c=11$ 檢驗這三條不等式。

   $4+8=12>11\qquad\checkmark$
   $4+11=15>8\qquad\checkmark$
   $8+11=19>4\qquad\checkmark$

   實務上只需要檢查第一條——牽涉到最長邊的那一條永遠是最緊的限制。

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   留意這個例子有多驚險。 餘裕只有 $12>11$：要是最長邊變成 $12$，這三段就會共線（退化的三角形），到了 $13$ 更是根本不存在三角形。

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   下結論。 三條不等式都成立，而 SSS 把形狀完全定死，所以恰好能構成

   $\boxed{1}$

   個三角形。再多驗一次：$11$ 所對的最大角滿足 $\cos C=\tfrac{16+64-121}{2\cdot 4\cdot 8}=-\tfrac{41}{64}$，是合法的餘弦值，給出 $C\approx 129.8^\circ$——鈍角，正如最長邊只是勉強塞得下時所預期的。