一個等腰直角三角形的頂點是 (0,0)、(4,0) 與 (0,4)，一個半徑 2 的圓以 (2,2) 為圓心。求兩者共同部分的面積。

Step-by-step solution

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   把兩個區域都寫成不等式。 三角形是 $x\ge0$、$y\ge0$、$x+y\le4$；圓盤是

   $(x-2)^2+(y-2)^2\le 4$

   共同部分就是同時滿足這四個條件的集合，所以三角形的三個限制條件都得分別拿來對圓盤檢驗。

2. 2

   檢驗斜邊那個條件。 圓心 $(2,2)$ 滿足 $2+2=4$，所以圓心恰好落在直線 $x+y=4$ 上。通過圓心的直線就是一條直徑所在的直線，會把圓盤切成兩個全等的一半。

   $\text{圓盤中滿足 }x+y\le4=\tfrac12\pi(2)^2=2\pi$

3. 3

   檢驗兩股那兩個條件。 $(2,2)$ 到 $x$ 軸的距離是 $2$，到 $y$ 軸的距離也是 $2$——兩者都等於半徑。所以這個圓與每一軸都相切（切點分別是 $(2,0)$ 與 $(0,2)$），從不穿越任何一軸。

   因此整個圓盤都落在 $x\ge0,\ y\ge0$ 之內，兩股切不掉任何東西。

4. 4

   把三項檢驗合起來。 只有斜邊會切到圓盤，而且正好把它平分。交集恰恰就是 $x+y\le4$ 那一側的半圓盤：

   $\text{面積}=\tfrac12\cdot\pi r^2=\tfrac12\cdot 4\pi=2\pi$

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   檢查數量級是否合理。 三角形的面積是 $\tfrac12(4)(4)=8$，整個圓盤的面積是 $4\pi\approx12.57$。重疊部分 $2\pi\approx6.283$ 比兩者都小，也小於三角形的一半——這和一個緊貼著斜邊的半圓盤相符 ✓。