等邊三角形 ABC 的邊長 AB = 4 公分，M 在 AC 上、N 在 BC 上且 CM = BN，兩點都不是頂點。直線 AN 與 BM 交於 G。(a) 作 CH 垂直 AB 於 H，求 CH。(b) 證明 AN = BM，並求角 AGM。

Step-by-step solution

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   (a) 利用等邊三角形「高即中線」這個性質。 因為 $CA=CB$，從 $C$ 作的高，其垂足 $H$ 就是 $AB$ 的中點，所以

   $AH=HB=\frac{AB}{2}=2\ \text{cm}$

   有了這一步，才能把原三角形變成兩邊已知的直角三角形。

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   (a) 在直角三角形 $ACH$ 用畢氏定理。

   $CH^{2}=AC^{2}-AH^{2}=4^{2}-2^{2}=16-4=12$

   $CH=\sqrt{12}=2\sqrt3\approx3.46\ \text{cm}$

   這就是等邊三角形常見的 $\frac{\sqrt3}{2}\times\text{邊長}$ 結果，這裡是 $\frac{\sqrt3}{2}\times 4$。

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   (b) 挑對要比較的兩個三角形。 看起來很順的 $\triangle ABN$ 與 $\triangle CAM$ 不行，因為 $AM=4-CM$ 一般不等於 $BN$。改比 $\triangle ABN$ 與 $\triangle BCM$：

   $AB=BC=4\ \text{(equilateral)},\qquad \angle ABN=\angle BCM=60^\circ,\qquad BN=CM\ \text{(given)}$

   夾角剛好夾在兩組對應邊之間，所以這是真正的 SAS 全等。

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   (b) 得到兩條分角線相等。 由 SAS 得 $\triangle ABN\cong\triangle BCM$，對應部分給出

   $AN=BM$

   同時也給出下一步要用的角相等：$\angle BAN=\angle CBM$。

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   (b) 在交點 $G$ 處追角。 因為 $M$ 在 $AC$ 上，射線 $BM$ 把 $B$ 處的 $60^\circ$ 分成兩塊：

   $\angle ABM=60^\circ-\angle CBM$

   再加上全等得到的等角，

   $\angle BAN+\angle ABM=\angle CBM+\left(60^\circ-\angle CBM\right)=60^\circ$

   三角形 $ABG$ 在 $A$、$B$ 處的兩角正好就是這兩個，所以

   $\angle AGB=180^\circ-60^\circ=120^\circ$

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   (b) 換成題目要的角。 $G$ 在線段 $BM$ 上，所以 $\angle AGM$ 與 $\angle AGB$ 互補：

   $\angle AGM=180^\circ-120^\circ=60^\circ$

   注意答案跟 $M$、$N$ 的位置無關：只要維持 $CM=BN$，把兩點沿邊滑動會讓兩條分角線一起轉，夾角永遠是 $60^\circ$。取 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(2,2\sqrt3)$ 且 $CM=BN=2$ 做座標驗算，同樣得到 $\angle AGM=60^\circ$。