兩張相同的正方形紙，對角線各為 24 公分，疊在一起使重疊區域也是邊為 AB 的正方形。若合成圖形覆蓋總面積為 384 平方公分，求 AB。

Step-by-step solution

1. 1

   用對角線公式求正方形面積。 由 $d=s\sqrt2$ 得 $s^2=\tfrac{d^2}{2}$，所以每張紙的

   $\text{面積}=\frac{1}{2}(24)^2=\frac{576}{2}=288\ \text{公分}^2$

   注意面積是隨 $d^2$ 變化的：把對角線從 $12$ 加倍到 $24$，面積會變成四倍。

2. 2

   套用排容原理。 覆蓋面積只把共用區域算一次，而不是兩次：

   $\text{覆蓋面積}=\text{面積}_1+\text{面積}_2-\text{重疊面積}$

3. 3

   解出重疊面積。 紙的總量是 $288+288=576\ \text{公分}^2$，但只覆蓋了 $384\ \text{公分}^2$：

   $\text{重疊面積}=576-384=192\ \text{公分}^2$

4. 4

   因為重疊區域是正方形，取平方根。

   $AB=\sqrt{192}\ \text{公分}$

5. 5

   化簡根式。 把最大的完全平方因數提出來：$192=64\times3$，而 $\sqrt{64}=8$，所以

   $AB=8\sqrt3\approx13.86\ \text{公分}$

   與對角線 $18$ 公分那一版的 $\sqrt{78}$ 不同，這個根式可以乾淨地化簡。

6. 6

   檢查合理性。 每張紙的邊長是 $\sqrt{288}\approx16.97$ 公分，而 $13.86<16.97$ ✓，所以重疊區域放得進一張紙裡。重疊佔每張紙的 $\tfrac{192}{288}=\tfrac{2}{3}$——雖然很大，卻完全可能 ✓。