三角形 ABC 中 AB = AC，高 BH 垂直 AC 於 H，高 CK 垂直 AB 於 K。證明 BK = CH，且 KH 平行 BC。

Step-by-step solution

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   先整理題設給了什麼。 因為 $AB=AC$，三角形 $ABC$ 在 $A$ 處是等腰的，所以兩底角相等：$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$。兩條高造出直角 $\widehat{BHA}=\widehat{BHC}=90^\circ$ 與 $\widehat{CKA}=\widehat{CKB}=90^\circ$。整個證明靠的都是這個圖形對通過 $A$ 之對稱軸的對稱性。

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   證明兩個直角三角形 BKC 與 CHB 全等。 比較 $\triangle BKC$ 與 $\triangle CHB$：

   • $\widehat{BKC}=\widehat{CHB}=90^\circ$（來自兩條高），
   • $BC$ 是共同的斜邊，
   • $\widehat{KBC}=\widehat{HCB}$（等腰三角形相等的兩底角）。

   由「斜邊與一銳角」的全等判定，$\triangle BKC\cong\triangle CHB$。

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   讀出 (a) 的結論。 全等三角形的對應股相等，而前者的 $BK$ 對應後者的 $CH$：

   $BK=CH$

   這就是 (a)。順帶還得到 $CK=BH$——兩條腰上的高長度相等。

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   把這個等式轉成兩邊上的比。 因為 $AB=AC$ 且 $BK=CH$，相減得 $AK=AB-BK=AC-CH=AH$。因此

   $\frac{AK}{AB}=\frac{AH}{AC}$

   兩邊是同一個數。這正是平行線截比例線段定理（泰利斯定理）的逆定理所需要的比例。

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   套用該逆定理得到 (b)。 點 $K$ 與 $H$ 分別落在三角形 $ABC$ 的邊 $AB$ 與 $AC$ 上，且以相同的比例分割它們，所以直線 $KH$ 平行於第三邊：

   $KH\parallel BC$

   等價地說，由 SAS 相似（$A$ 處的公共角、兩鄰邊成比例）得 $\triangle AKH\sim\triangle ABC$，這迫使對應角 $\widehat{AKH}=\widehat{ABC}$，於是兩線平行。

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   用座標驗證。 取 $B=(-b,0)$、$C=(b,0)$、$A=(0,h)$，$AB=AC$ 自動成立。對六組隨機的 $(b,h)$ 把 $H$ 與 $K$ 算成垂足，每一次都得到 $BK=CH$，誤差在 $10^{-9}$ 以內，$AK=AH$ 也一樣；而且 $K$ 與 $H$ 的 $y$ 座標永遠相同——所以 $KH$ 是水平的，正如 $BC$ ✓。