求底半徑 2.2 公尺、軸截面頂角 60 度的圓錐體積。

Step-by-step solution

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   先看出頂角能給我們什麼。 體積公式 $V = \tfrac13\pi r^2 h$ 需要高，而題目沒有直接給。軸截面是一個頂角為 $60^{\circ}$ 的等腰三角形；軸把它切成兩個直角三角形，半頂角為

   $\frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$

2. 2

   在那個直角三角形裡把半徑與高連起來。 半頂角位在尖端，半徑是它的對邊、高是它的鄰邊：

   $\tan 30^{\circ} = \frac{r}{h} \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{r}{\tan 30^{\circ}} = r\sqrt{3}$

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   算出高。

   $h = 2.2\sqrt{3} = 3.810512\ \text{公尺}$

   注意這個圓錐比它的半徑還高——$60^{\circ}$ 的頂角算是相當窄的。

4. 4

   套用體積公式。

   $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (2.2)^2 (3.810512) = \frac{1}{3}\pi (4.84)(3.810512)$

   $V = 19.3133\ \text{公尺}^3$

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   寫出精確形式並做合理性檢查。 精確地說，$V = \tfrac13\pi r^3\sqrt3 = \tfrac{\sqrt3}{3}\pi (2.2)^3 = \tfrac{\sqrt3\,\pi}{3}(10.648) \approx 19.313\ \text{公尺}^3$。作為檢查：同半徑同高的外接圓柱可裝 $\pi r^2 h = 57.94\ \text{公尺}^3$，而圓錐是它的三分之一——$19.31\ \text{公尺}^3$。