兩個正六邊形的邊長比為 3:5，較小者的面積是 81 平方公尺。較大的正六邊形面積是多少？選項為 240、125、135、225 平方公尺。

Step-by-step solution

1. 1

   注意所有正六邊形都相似。 六邊等長、六角相等就把形狀完全定死了，所以這兩個六邊形只差一個縮放倍率。這正是能套用相似性質的理由；你完全不需要六邊形的面積公式 $\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$。

2. 2

   回想面積在縮放下的行為。 若長度放大 $k$ 倍，面積就放大 $k^2$ 倍，因為面積是兩個長度的乘積。這裡

   $k=\frac{\text{較大邊}}{\text{較小邊}}=\frac{5}{3}\quad\Longrightarrow\quad \frac{A_{\text{大}}}{A_{\text{小}}}=k^{2}=\frac{25}{9}.$

3. 3

   把已知面積乘上比值的平方。

   $A_{\text{大}}=81\cdot\frac{25}{9}=9\cdot 25=225\ \text{m}^2.$

   $9$ 剛好整除 $81$，這是個好徵兆：題目本來就是為這條路徑設計的。

4. 4

   用明確公式確認。 邊長為 $s$ 的正六邊形，$A=\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$。由 $81=\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$ 得 $s^2=\tfrac{162}{3\sqrt3}=\tfrac{54}{\sqrt3}$，而較大的邊滿足 $S=\tfrac53 s$，於是 $S^2=\tfrac{25}{9}s^2$，$A_{\text{大}}=\tfrac{25}{9}\cdot 81=225$。同樣的答案，但麻煩得多。

5. 5

   排除誘答。 $135=81\cdot\tfrac53$ 是拿比值本身而不是它的平方去縮放——標準陷阱。$125=5^3$ 和 $240$ 在題目裡對應不到任何東西。答案是 $225\ \text{m}^2$。