一個等腰梯形上底 4、下底 4 + 2r，兩腰各長 2r。以 r 表示它的面積與周長。

Step-by-step solution

1. 1

   四邊相加得周長。 這一步用不到高：

   $P=4+(4+2r)+2r+2r=8+6r.$

2. 2

   把多出來的部分切開，做出直角三角形。 下底比上底多出 $(4+2r)-4=2r$。在等腰梯形裡這個超出量由兩端均分，所以每一端各多出

   $\frac{2r}{2}=r.$

   從上底的兩個頂點各作一條垂線，就得到一個斜邊為 $2r$（也就是腰）、水平邊為 $r$ 的直角三角形。

3. 3

   用畢氏定理求高。

   $h^{2}+r^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}\;\Longrightarrow\;h^{2}=3r^{2}\;\Longrightarrow\;h=r\sqrt3.$

   比例 $r:r\sqrt3:2r$ 正是 30-60-90 直角三角形，所以每一條腰與長底恰好夾 $60^{\circ}$——這與 $r$ 無關，也就是為什麼每個 $r$ 給出的形狀彼此都相似。

4. 4

   套用梯形面積公式。

   $A=\frac12\bigl(\text{上底}+\text{下底}\bigr)h=\frac12\bigl(4+4+2r\bigr)\bigl(r\sqrt3\bigr)=\frac12\cdot 2(4+r)\cdot r\sqrt3=\sqrt3\,r(r+4).$

5. 5

   用具體數值檢查公式，並記下限制條件。 每一個 $r>0$ 都給出真正的梯形，因為此時高 $r\sqrt3$ 為正。取 $r=1$：兩底是 $4$ 與 $6$，腰是 $2$，高是 $\sqrt3=1.7320508$。周長 $=4+6+2+2=14=8+6(1)$ ✓，面積 $=\tfrac12(10)(1.7320508)=8.660254$，而 $\sqrt3(1)(5)=8.660254$ ✓。