正四角錐 T.ABCD 中，P 為 AD 中點、Q 為 AB 中點，過 PQ 作平行於稜 TA 的平面。求它把角錐分成的兩塊體積比。

Step-by-step solution

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   建立座標。 取 $A(0,0,0)$、$B(1,0,0)$、$C(1,1,0)$、$D(0,1,0)$，頂點取 $T\left(\tfrac12,\tfrac12,1\right)$；體積比與底邊長、高都無關，所以用體積 $\tfrac13$ 的單位角錐就夠了。於是 $P\left(0,\tfrac12,0\right)$、$Q\left(\tfrac12,0,0\right)$。

2. 2

   由兩個條件把平面造出來。 它必須含有 $\vec{PQ}=\left(\tfrac12,-\tfrac12,0\right)$，並且平行於 $\vec{TA}=\left(-\tfrac12,-\tfrac12,-1\right)$。兩者的外積正比於 $(1,1,-1)$，所以平面是 $x+y-z=\tfrac12$。驗算：$\vec{TA}\cdot(1,1,-1)=-\tfrac12-\tfrac12+1=0$，可見這個平面確實平行於 $TA$，而且 $P$ 與 $Q$ 都滿足這個方程式。

3. 3

   找出截面。 在底面 $z=0$ 上，平面截出線段 $PQ$。稜 $TB$：平面交於它的中點 $R$；稜 $TD$：交於中點 $S$；稜 $TC$：交於滿足 $TU:TC=\tfrac14$ 的點 $U$，也就是 $U\left(\tfrac58,\tfrac58,\tfrac34\right)$。稜 $TA$ 與平面平行，永遠不相交。截面是五邊形 $Q\,R\,U\,S\,P$。

4. 4

   判斷哪些頂點落在哪一塊。 令 $f(x,y,z)=x+y-z$，則 $f(A)=0$、$f(T)=0$ 都低於 $\tfrac12$，而 $f(B)=f(D)=1$、$f(C)=2$ 都高於它。所以一塊含有稜 $TA$，另一塊含有 $B$、$C$ 與 $D$。

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   用水平切片算出較小的那一塊。 在高度 $z$ 處，角錐的截面是邊長 $L=1-z$ 的正方形 $x,y\in\left[\tfrac z2,1-\tfrac z2\right]$。平移成 $u=x-\tfrac z2$、$v=y-\tfrac z2$ 後，條件 $x+y<\tfrac12+z$ 變成 $u+v<\tfrac12$；於是只要 $L\ge\tfrac12$ 面積就是 $\tfrac18$，接著是 $L^2-\tfrac12\left(2L-\tfrac12\right)^2$，一旦 $2L<\tfrac12$ 就變成 $L^2$。

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   把三段分別積分。 $\int_0^{1/2}\tfrac18\,dz=\tfrac1{16}$；$\int_{1/2}^{3/4}\left[(1-z)^2-\tfrac12(1.5-2z)^2\right]dz=\tfrac{5}{192}$；$\int_{3/4}^{1}(1-z)^2dz=\tfrac{1}{192}$。總和是 $\tfrac{12}{192}+\tfrac{5}{192}+\tfrac{1}{192}=\tfrac{18}{192}=\tfrac{3}{32}$。

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   組出比值。 整個角錐的體積是 $\tfrac13=\tfrac{32}{96}$，較小的一塊是 $\tfrac{3}{32}=\tfrac{9}{96}$，所以另一塊是 $\tfrac{23}{96}$，比值為 $9:23$。用六百萬個樣本做蒙地卡羅檢驗得到 $0.09378$，對照精確值 $\tfrac{3}{32}=0.09375$。