求拋物線 y² + 6y + 9 = 12 − 12x 的頂點、焦點、對稱軸與準線。

Step-by-step solution

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   直接認出完全平方三項式，不必再配方。 左邊的 $y^2 + 6y + 9$ 本來就是 $(y+3)^2$，因為 $9 = (6/2)^2$。看出這件事就完全省掉配方那一步：

   $(y+3)^2 = 12 - 12x$

2. 2

   把右邊因式分解成 $4p(x-h)$ 的樣子。 提出 $-12$：

   $(y+3)^2 = -12(x-1)$

   正負號很重要——若寫成 $12(1-x)$，$h$ 的值就被藏起來了。

3. 3

   對到左右開口的樣板。 這裡被平方的變數是 $y$，所以拋物線是左右開口的，形式為 $(y-k)^2 = 4p(x-h)$。寫成 $(y-(-3))^2 = -12(x-1)$ 得 $h = 1$、$k = -3$、$4p = -12$，所以

   $p = -3$

   因為 $p < 0$，拋物線向左開口。

4. 4

   定出頂點與焦點。 頂點是 $(h,k) = (1,-3)$。對左右開口的拋物線，焦點是 $(h+p,\; k)$：

   $(1 + (-3),\, -3) = (-2, -3)$

5. 5

   寫出對稱軸與準線。 對稱軸是通過頂點的水平線 $y = k = -3$。準線則是鉛直線 $x = h - p = 1 - (-3) = 4$，位在頂點右方三個單位——如同它必然的那樣，落在焦點的另一側。

6. 6

   用定義檢查一個點。 取 $y = 3$，方程式給出 $(3+3)^2 = 36 = -12(x-1)$，所以 $x = -2$，也就是 $(-2, 3)$ 在曲線上。它到焦點 $(-2,-3)$ 的距離是 $6$，到準線 $x = 4$ 的距離是 $|-2 - 4| = 6$。兩個距離相符。