正方形的兩個相鄰頂點為 A(2, −1) 與 B(−1, 3)。求另外兩個頂點的座標。

Step-by-step solution

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   把題給的邊化成向量。 因為 $A$ 與 $B$ 是相鄰頂點，線段 $AB$ 是正方形的一整條邊，不是對角線。它的向量是

   $\overrightarrow{AB}=B-A=(-1-2,\;3-(-1))=(-3,\,4),$

   長度 $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$。所以正方形的邊長是 $5$。

2. 2

   把這個向量旋轉 90 度得到相鄰邊。 正方形的相鄰邊互相垂直且等長 —— 這正是 $90^\circ$ 旋轉會產生的效果。把 $(x,y)$ 逆時針旋轉得 $(-y,x)$、順時針旋轉得 $(y,-x)$，所以由 $(-3,4)$ 得到兩個候選

   $(-4,-3)\qquad\text{and}\qquad(4,3),$

   長度都是 $5$。兩種旋轉表示有兩個合法的正方形，分別落在 $AB$ 的兩側 —— 照題目字面來看有兩組答案，只給一組是不完整的。

3. 3

   情形一：平移 $(4,3)$。 把這個向量加到兩個已知頂點上，就把邊 $AB$ 推到正方形的對邊：

   $D=A+(4,3)=(6,2),\qquad C=B+(4,3)=(3,6).$

   正方形為 $A(2,-1)$、$B(-1,3)$、$C(3,6)$、$D(6,2)$。

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   情形二：平移 $(-4,-3)$。 用另一個方向的旋轉會得到鏡像的正方形：

   $D=A+(-4,-3)=(-2,-4),\qquad C=B+(-4,-3)=(-5,0).$

   正方形為 $A(2,-1)$、$B(-1,3)$、$C(-5,0)$、$D(-2,-4)$。

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   驗證兩個正方形。 兩種情形下四邊都是 $5$，兩條對角線都是 $5\sqrt{2}\approx 7.071$ —— 對角線相等且等於邊長 $\times\sqrt2$，正是正方形與菱形的分野。兩種情形的內積 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ 也確認了直角。