Trigonometry
Перетащите или нажмите , чтобы добавить изображения
Real trigonometry questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
Решения: x = 5π/4 + 2πn и x = 7π/4 + 2πn. Отрицательный синус помещает угол в третью и четвёртую четверти, и в обеих опорный угол равен π/4.
Опорный угол равен π/3, а синус положителен в первой и второй четвертях, поэтому решения — x = π/3 + 2πn и x = 2π/3 + 2πn для любого целого n.
Ответ: 143,13° и 216,87° (или 2,498 и 3,785 рад). Это углы во II и III четвертях, где косинус отрицателен.
Ответ: углы треугольника — примерно 9,49°, 85,26°, 85,26°. Решение через теорему косинусов, так как известны только стороны.
Дуга равна 7,854 см, а площадь сектора — 35,343 см². Угол переводится в радианы: 5π/18, затем применяются формулы s = rθ и A = (1/2)r²θ.
Длина дуги сектора равна 14,661 ярда, а площадь — 87,965 ярд². Для вычислений угол 70° переводится в радианы: 7π/18.
И длина дуги, и площадь сектора равны 2π/3 ≈ 2,094. При r = 2 множитель (1/2)r² равен r, поэтому значения совпадают — это особенность именно радиуса 2.
Длина дуги составляет 2,094 м, а площадь сектора — 4,189 м². При удвоении радиуса и уменьшении угла вдвое длина дуги не меняется, а площадь сектора удваивается.
Длина дуги окружности радиуса 3 м и центрального угла 120° равна 2π ≈ 6,283 м — это ровно треть длины всей окружности.
Сумма arctan(x) + arctan(1/x) равна π/2 при x>0, -π/2 при x<0, не определена при x=0. Значение — (π/2)·sgn(x), никогда не 0.
Чётные: -7x² + 1, cos(-x) и tan x / x. Нечётные: sin x / cos x и csc x. Ни те ни другие: 4x³ - 3x² + 5 — смешанные степени разрушают симметрию.
Через 0,5 минуты вертолёт М поднимется на 1,75√3 ≈ 3,03 км, что ниже 4,5 км. Короткое время не даёт обогнать N, в отличие от случая с большей скоростью.
Самолёт Q поднимается на 3,71 км за 0,7 мин, что ниже 5 км самолёта P. Вертикальная скорость: 450·sin45° = 318,2 км/ч, время — 0,01167 ч.
Самолёт A набирает 5 км, что ниже 7 км самолёта B. Вертикальная скорость — 250 км/ч, за 1,2 минуты (0,02 ч) высота A меньше B.
Самолёт М поднимется на 9√3 ≈ 15,6 км — это выше, чем 10 км у N. Учитывается только вертикальная составляющая скорости: v·sin60°, время — 0,03 ч.
Самолёт E набирает высоту 7,7 км за 2,1 минуты, что ниже высоты F (8 км). Вертикальная скорость: 440·sin30° = 220 км/ч, 2,1 минуты = 0,035 ч.
Решение: x ∈ [−5π/6, 5π/6]. Неравенство сводится к cos x ≥ −√3/2, что даёт центральный отрезок на интервале [−π, π].
Города находятся примерно в 695.8 мили друг от друга. Разность широт даёт центральный угол 10 градусов 4 минуты; переводим его в радианы и применяем формулу s = rθ.
arccos(0,33) ≈ 1,234493 рад ≈ 70,7312°. Точное значение — arccos(0,33), поскольку 0,33 не является табличным косинусом.
arccos(0,75) ≈ 41,41° или 0,7227 рад. Это не табличный угол, поэтому требуется калькулятор и правильный режим измерения углов.
arccos(1/√3) ≈ 0.9553 рад, или 54.7356°. Число 0.57735 не является косинусом табличного угла, поэтому точной записи через π у ответа нет.
Ответ: +π/4. Число √2/2 — это косинус 45°, а арккосинус принимает значения только от 0 до π, поэтому ответ — положительный угол первого квадранта.
arcsin(0.375) = arcsin(3/8) ≈ 0,384397 рад ≈ 22,0243°. Точного значения через радикалы нет, так как 3/8 не является табличным значением синуса.
arcsin(0.395) ≈ 0.406068 рад ≈ 23.2660°. Число 0.395 = 79/200 не даёт табличного угла, поэтому точный ответ остаётся в виде арксинуса.
Ответ: π/3 или 60°. Хотя sin(2π/3) тоже равен √3/2, arcsin возвращает только значение из [−π/2, π/2], поэтому 2π/3 не подходит.
arctan(0.003) ≈ 0,002999991 рад или 0,1719°. Для очень малых x арктангенс почти равен x, отличие — лишь в восьмом знаке.
arctan(15/66,67) ≈ 12,68° или 0,2213 рад. Сначала делим 15 на 66,67, затем берём арктангенс — малое отношение даёт малый угол.
arctan(3716/3936) ≈ 0,75666 рад или 43,35°. Дробь сокращается до 929/984, но это не табличное значение тангенса, точного угла нет.
arctan(1/2) ≈ 0,46365 рад или 26,565°. Это угол, тангенс которого равен 1/2; точного значения через специальные углы не существует.
Точное значение cos 225° — −√2⁄2 (примерно −0,7071). Угол в III четверти, где косинус отрицателен, а опорный угол равен 45°.
Ответ: −1/2. 240° — это 180° + 60°, угол в III четверти, где косинус отрицателен, поэтому cos 240° = −cos 60° = −1/2.
cos(2π/9)·cos(4π/9)·cos(8π/9) = −1/8. Используется формула произведения косинусов с удвоением угла: cos x cos 2x cos 4x = sin 8x/(8 sin x).
Значение cos(7°) округляется до 0,9925. Переводим 7° в радианы (0,12217) и по ряду Тейлора получаем то же значение с точностью до четырёх знаков.
Ответ: примерно 0,99006. sin(3 радиан) ≈ 0,14112, так как 3 чуть меньше π, а косинус этого малого числа близок к 1.
sin 20° ≈ 0,3420. Это не особый угол: радикальной формулы не существует, поэтому требуется калькулятор. Обоснование и проверка приведены ниже.
sin 225° равен −√2⁄2 (примерно −0,7071). 225° — это III четверть, где синус отрицателен, а его приводимый угол — 45°.
Ответ: −1. 315° — это 360° − 45°, угол в IV четверти, где тангенс отрицателен, поэтому tan 315° = −tan 45° = −1.
tan(4,2π) = √(5−2√5) ≈ 0,72654. Тангенс периодичен с периодом π, поэтому 4,2π сводится к π/5, то есть 36°.
Значение tan(7°) до четырёх знаков — 0,1228. В радианах 7° — 0,12217, и для малых углов tan x ≈ x, так что ответ чуть больше радианной меры.
Ответ: 0,8794. cos 20° ≈ 0,9397, удваиваем — 1,8794, вычитаем 1 — получаем 0,8794. Подробное объяснение всех шагов.
Ответ: 5π/6, а не -π/6. Значение арккосинуса всегда в диапазоне [0; π], поэтому отрицательный аргумент даёт угол во II четверти.
Ответ: ±√((7√145−79)/18) ≈ ±0,5422. Подставим u = sin²x, решим квадратное уравнение, отрицательный корень невозможен.
Ответ: sin 2x = ±2√2⁄3. При cos x = √6·sin²x квадратное уравнение даёт sin²x = 1⁄3, cos x = √6⁄3 > 0, а знак sin 2x зависит от квадранта.
sin A = 3/4. Ключ — замена cos B на –cos(A+C), после чего числитель сокращается до sin A sin C, а условие приводит к C = 60°.
sin A = 3/4. Подстановка B = π – A – C упрощает числитель, далее tan C = √3 и по теореме синусов находится ответ.
Ответ: примерно 41,30° или 0,7208 рад. Если синус уменьшить на одну сотую (с 0,67 до 0,66), угол изменится примерно на 0,77°.
Ответ: примерно 42,07° или 0,7342 рад. Число 0,67 чуть меньше sin(45°) = 0,7071, значит, угол чуть меньше 45°.
Ответ: угол θ ≈ 53,13° или 0,9273 рад. Это угол в прямоугольном треугольнике 3-4-5, где sin(θ) = 4/5 = 0,8 — полезная проверка точности.
По формуле s = rθ получаем θ = 3/5 = 0,600 радиан (примерно 34,38°). Радианная мера — безразмерная, так как мили сокращаются.
Центральный угол сектора: θ = 2A/r² = 6/25 = 0,240 рад (примерно 13,75°).
Радиус равен 6 футам: r = s/θ = 2/(1/3) = 6. Деление на дробь заменяется умножением на обратную.
Радиус сектора с площадью 2 фут² и углом 1/3 рад равен 2√3 ≈ 3,464 фута. Используется формула r = √(2A/θ).
Самолёт за 1,2 минуты набирает 5 км высоты, что меньше 7 км. Вертикальная скорость: 500 км/ч × sin 30°, затем умножить на время в часах.
cos(180°) = –1 — это верно. Косинус 180° равен –1, так как это абсцисса точки на единичной окружности при таком угле.
Верно. Угол 7π/6 = π + π/6 лежит в III четверти, поэтому sin(7π/6) = −1/2, а косеканс обратен синусу, значит csc(7π/6) = 1/(−1/2) = −2 точно.
Функция sin x / x — чётная, а cos x / x — нечётная. Деление нечётной функции на x даёт чётную, деление чётной на x — нечётную.
Ответ: да, tan(π) = 0. Числитель равен нулю, а знаменатель — не ноль, поэтому частное равно нулю.
Лестница достаёт до высоты 24 фута при основании в 7 футах от стены: её длина 25 футов, угол с землёй около 73.7°. Длину даёт теорема Пифагора, угол — арктангенс.
Ответ: a = 75√3 + 15√39 ≈ 223,58 или a = 75√3 – 15√39 ≈ 36,23. Неизвестное встречается в квадрате и первой степени — получается квадратное уравнение.
Ответ: A ≈ 69,6°, x ≈ 24,03. Из sin A = 23·sin 32° / 13 = 0,9375; указание, что угол острый, отбрасывает тупой вариант 110,4°, третий угол равен 78,4°.
Период функции y = 2 cos(3x - 2π) равен 2π/3. Только коэффициент при x влияет на период, амплитуда и сдвиг фазы его не изменяют.
Период функции y = 3 csc x равен 2π. Котангенс — обратная к синусу функция, поэтому её период совпадает с периодом синуса, а множитель 3 не влияет на период.
Обе части равны tan²A+cos²A. Левая часть даёт это сразу, правая упрощается до sec²A-sin²A, а sec²A=1+tan²A и 1-sin²A=cos²A.
Опорные (приведённые) углы равны 30°, 45°, π/3 и π/4. Сначала определяем четверть, потом отсчитываем до ближайшей половины оси x — по одному правилу на четверть.
При x > 0 это π/2 − arctg x, при x < 0 это −π/2 − arctg x. Знак x определяет константу, потому что главная область значений арктангенса шириной всего π.
Площадь сектора радиуса 3 м и угла 120° равна 3π ≈ 9,425 м² — это ровно треть площади круга.
Ответ: cos(2x) + 5. Используется формула приведения: sin(θ + π/2) = cos(θ), где θ = 2x. Слагаемое 5 просто сдвигает график вверх.
Ответ: sin(9x)tg(12x). Деление на ctg(12x) = cos(12x)/sin(12x) равносильно умножению на обратную дробь sin(12x)/cos(12x), а это и есть tg(12x).
Ответ: sin²A/cos A − 1. Замена ctg A = cos A/sin A превращает первую дробь в sin A·tg A, а произведение cosec A · sin A свёртывается ровно в 1.
sin²θ + tan²θ + cos²θ упрощается до sec²θ с помощью основных тригонометрических тождеств. Ответ: sec²θ.
Выражение равно √(1 − sin²α·cos²β)/|cos α|. Всё приводится к общему знаменателю cos²α, затем берётся корень с модулем.
Примем длину склона за 1 и исключим горизонтальное расстояние между двумя наблюдениями. Из tg 15° = 2 − √3 получаем tg θ = (6 + 9√3)/23 ≈ 0.9386, то есть θ ≈ 43.2°.
Корни: 7π/24, 23π/24, 31π/24 и 47π/24. Замена t для всего аргумента растягивает промежуток до [π/4, 17π/4), в котором помещаются четыре решения.
Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk при любом целом k. Синус равен 1/2 дважды за оборот, поэтому одна серия π/6 — только половина ответа.
Два семейства решений: y = π при любом x и sin(x + y/2) = 2 sin(y/2), где требуется |sin(y/2)| ≤ 1/2. Ветвь y = π теряется, если сократить на cos(y/2).
Ответ: x = 6 + 2arcsin(2/3) + 4πk и x = 6 + 2π − 2arcsin(2/3) + 4πk. Выделяем синус, а затем выписываем обе серии общего решения.
Общее решение: x = −π/6 + πk. После выражения получаем tg x = −√3/3; опорный угол равен π/6, а период тангенса равен π, а не 2π.
Ответ: x = ±π/6 + kπ. Извлечение корня даёт cos x = ±√3/2; четыре базовых угла на одном обороте объединяются в два семейства с шагом π.
Ответ: x = nπ ± arcsin(√((√145 − 1)/12)), примерно nπ ± 1,2843 рад. Из двух корней 6u² + u − 6 = 0 в допустимый промежуток 0 ≤ u ≤ 1 попадает только один.
Решение: x ≈ 440,67. После возведения в квадрат тождество sec²θ − 1 = tg²θ сводит уравнение к x·tg 20° = √25725,16, откуда x = √25725,16 / tg 20°.
Решение: x ≈ 284.44. Постоянная под корнем равна 26.8² + 100² = 10718.24, и деление её квадратного корня на tg 20° = 0.36397 сразу даёт x.
Ответ: x ≈ 345.26, а не 345.1. После возведения в квадрат sec²20° − 1 = tg²20°, поэтому x = √15791.21 / tg 20° = 125.6631 : 0.3639702.
Ответ: a = 6.32857° (а также 172.52555°). Делим на общий множитель 89.474 и применяем метод вспомогательного угла R sin(a + φ) с R = √1.0001.
Ответ: x = √5/5 ≈ 0,4472. Синус от обеих частей превращает уравнение в 2x = √(1 − x²), а условие знака правой части отбрасывает отрицательный корень.
Ответ: x = 1,227111 и x = 5,818835 рад. Сумма косинусов сворачивается в 2cos(3x/2 − π/6)cos(x/2 − π/6), корни которого не выражаются в замкнутом виде.
Ответ: x = 1,227111 и x = 5,818835 радиан. Раскрываем косинус разности, сводим к уравнению 4c⁴ + 2c³ − 4c² − 2c + 1 = 0, где c = cos x, и отбрасываем посторонние корни.
x = ±arctg(√(−cos t)) + kπ, и только при cos t ≤ 0. Так как tg²x никогда не отрицателен, при положительном cos t уравнение не имеет действительных корней.
Решения: x = 2π/3 + 2πk и x = 4π/3 + 2πk. Умножение на sin x даёт 2cos²x − cos x − 1 = 0, а корень cos x = 1 отбрасываем, так как sin x ≠ 0.
Ответ: x = 3π/8 + (π/2)k. Умножение обеих частей на 2 превращает sin 2x cos 2x в sin 4x, и произведение двух функций сворачивается в одно уравнение.
Решений четыре: x = π/6, π/3, 7π/6 и 4π/3. Сначала решаем относительно 2x на [0, 4π], затем делим углы пополам — корней вдвое больше, чем у sin x.
Ответ: sin 2x = ±2√2/3. Замена u = sin²x даёт 6u² + u − 1 = 0; отрицательный корень отбрасываем, затем применяем тождество sin²2x = 4 sin²x cos²x.
Ответ: x = π/4 + kπ/2 при любом целом k. Извлекая корень, получаем sin x = ±√2/2, и четыре серии решений сливаются в одну арифметическую прогрессию.
На промежутке [0, 2π) решения такие: 0, π и 3π/2. Раскладываем уравнение на множители sin x (sin x + 1) = 0 и решаем отдельно sin x = 0 и sin x = −1.
Ответ: x = 7π/6 + 2πk или x = 11π/6 + 2πk. Синус отрицателен в третьей и четвёртой четвертях, а острый угол в обеих равен π/6.
Уравнение сводится к sin x = 3/4 и sin x = −1. Формула cos 2x = 1 − 2 sin²x превращает его в 4t² + t − 3 = 0, дальше решаем два простейших уравнения.
Ответ: θ = π/4 + πk, то есть 45 + 180k градусов. Тангенс повторяется через полуоборот, поэтому и π/4, и 5π/4 — решения одной серии.
Ответ: y = sin(2x + π/3). Замена x на x + π/12 добавляет к фазе 2 × π/12 = π/6, то есть сдвиг на π/12 меняет фазу ровно вдвое сильнее.
При α = 36°, γ = 50° и b = 78.2 площадь равна примерно 1380.1. Находим третий угол, затем считаем по формуле S = b² sin α sin γ / (2 sin β).
Ответ: a = kπ − π/4 при любом целом k, наименьшее положительное значение 3π/4. Сдвинутый синус нечётен ровно тогда, когда его полная фаза кратна π.
Равенство ложно, решений нет. Так как cos(2π) = 1, правая часть равна 5, а 10 ≠ 5; тот же вывод даёт оценка: 5 cos x по модулю не превосходит 5.
Ответ: tg(−π/6). Оба равны −1/√3, ведь тангенс имеет период π и нечётен; tg(7π/6) и tg(−5π/6) равны +1/√3, а ctg(5π/6) равен −√3.
Чётной является только y = cos(5πx/4). Проверка f(−x) показывает, что варианты с синусом, тангенсом и косекансом меняют знак, то есть все три нечётные.
Возможны только tan(m) = 2 и sin(m) = −0,9. Остальные отпадают: синус и косинус лежат в [−1; 1], а cot(0), csc(π) и арксеканс, равный π/2, не определены.
tg 30° = 1/√3 = √3/3 ≈ 0,5774. Значение получается делением sin 30° на cos 30° с избавлением от иррациональности в знаменателе; сам √3 — это tg 60°.