В треугольнике угол α = 36 градусов, угол γ = 50 градусов, а сторона b = 78.2 лежит между ними. Найдите площадь треугольника с точностью до десятых.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала найдём третий угол — без него ничего не начать. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

   $\beta=180^\circ-\alpha-\gamma=180^\circ-36^\circ-50^\circ=94^\circ$

   Угол $\beta$ тупой, значит сторона $b$ (лежащая против $\beta$) — наибольшая сторона треугольника. Это удобная проверка на здравый смысл для дальнейших вычислений.

2. 2

   Опознаем конфигурацию: известная сторона лежит между известными углами (второй признак равенства). По стандартным обозначениям сторона $b$ лежит против угла $\beta$, поэтому при известных $\alpha$ и $\gamma$ сторона $b$ оказывается заключённой между ними. Теперь известны все углы и одна длина, то есть треугольник определён однозначно и никакого «неопределённого случая» здесь нет — он возникает только в задачах по двум сторонам и углу против одной из них.

3. 3

   Выведем формулу площади из теоремы синусов. Площадь равна $K=\tfrac12ac\sin\beta$, а теорема синусов выражает обе неизвестные стороны через $b$:

   $a=\frac{b\sin\alpha}{\sin\beta},\qquad c=\frac{b\sin\gamma}{\sin\beta}$

   Подставляя, получаем

   $K=\frac12\cdot\frac{b\sin\alpha}{\sin\beta}\cdot\frac{b\sin\gamma}{\sin\beta}\cdot\sin\beta=\frac{b^2\sin\alpha\sin\gamma}{2\sin\beta}$

   Одна такая формула избавляет от округления промежуточных длин сторон — именно на этом решения «в два шага» обычно теряют десятую долю.

4. 4

   Подставим числа. Так как $b^2=78.2^2=6115.24$, а синусы (с семью знаками после запятой) равны

   $\sin36^\circ=0.5877853,\quad \sin50^\circ=0.7660444,\quad \sin94^\circ=0.9975641$

   числитель и знаменатель принимают вид

   $6115.24\times0.5877853\times0.7660444=2753.5068,\qquad 2\times0.9975641=1.9951281$

5. 5

   Разделим и округлим.

   $K=\frac{2753.5068}{1.9951281}=1380.1153\ldots\approx1380.1$

   Обратите внимание на цифры после запятой: неокруглённое значение равно $1380.115$, поэтому округление идёт вниз, до $1380.1$. Если брать синусы всего с четырьмя знаками, получится $1380.2$ — то есть неверный округлённый ответ.

6. 6

   Проверим совершенно другим способом. Найдя стороны, получаем $a=b\sin\alpha/\sin\beta=46.0770$ и $c=b\sin\gamma/\sin\beta=60.0510$. Тогда $K=\tfrac12ac\sin94^\circ=1380.1153$, а формула Герона при $s=\tfrac{a+b+c}{2}=92.1640$ тоже даёт $1380.1153$. Три независимых пути, совпадающие до четвёртого знака, окончательно подтверждают ответ.