Вычислите tan(4,2π), укажите точное значение.

Step-by-step solution

1. 1

   Используем период тангенса, который равен $\pi$, а не $2\pi$. В отличие от синуса и косинуса, тангенс повторяется через пол-оборота:

   $\tan(\theta+k\pi)=\tan\theta\quad\text{для любого целого }k$

   Если бы использовали $2\pi$, выражение упростилось бы меньше.

2. 2

   Выделим целое число периодов $\pi$. Представим $4.2=4+0.2$:

   $\tan(4.2\pi)=\tan(4\pi+0.2\pi)=\tan(0.2\pi)$

   так как $4\pi$ — это четыре полных периода.

3. 3

   Преобразуем оставшийся угол к знакомому виду.

   $0.2\pi=\frac{\pi}{5}=36^\circ$

   Задача сводится к вычислению $\tan 36^\circ$.

4. 4

   Приведём точное значение для угла правильного пятиугольника. Угол $36^\circ$ связан с правильным пятиугольником и золотым сечением, его тангенс выражается радикалом:

   $\tan\frac{\pi}{5}=\sqrt{5-2\sqrt5}$

5. 5

   Проверим численно. $\sqrt5\approx 2.236068$, значит $5-2\sqrt5\approx 0.527864$, а его корень $\approx 0.726543$. Прямой подсчёт даёт $\tan(4.2\pi)\approx 0.7265425$ $\checkmark$. Значение положительно, что соответствует тому, что $\tfrac{\pi}{5}$ находится в первой четверти.