Решить уравнение sin(x) = −1/2 для всех действительных x.

Step-by-step solution

1. 1

   Найдём острый (опорный) угол по модулю значения. На минуту забудем про знак: $\sin\theta=\tfrac12$ достигается при табличном угле

   $\theta=\frac{\pi}{6}=30^\circ$

   из прямоугольного треугольника с углами $30$-$60$-$90$. Значит, опорный угол равен $\tfrac{\pi}{6}$ — калькулятор не нужен.

2. 2

   Определим, в каких четвертях синус отрицателен. Синус — это ордината точки на единичной окружности, поэтому он отрицателен в третьей четверти и в четвёртой четверти (ниже оси). Две четверти означают два решения за один оборот.

3. 3

   Построим решение из третьей четверти. Отложим опорный угол за $\pi$:

   $x=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$

   Здесь $\sin\tfrac{7\pi}{6}=-\tfrac12$ ✓ (обе координаты отрицательны).

4. 4

   Построим решение из четвёртой четверти. Отложим опорный угол назад от $2\pi$:

   $x=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$

   Здесь $\sin\tfrac{11\pi}{6}=-\tfrac12$ ✓.

5. 5

   Продолжим по периоду. Период синуса равен $2\pi$, поэтому любое решение — это одно из двух найденных, сдвинутое на целое число оборотов:

   $x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\qquad\text{или}\qquad x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   Нужны обе серии: расстояние между ними равно $\tfrac{4\pi}{6}=\tfrac{2\pi}{3}$, что не кратно $2\pi$. (Равносильно: запись $x=-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k$ описывает ту же серию из четвёртой четверти.)

6. 6

   Проверим при нескольких k. Вычисление обеих серий при $k=-2,\,0,\,3$ даёт $\sin x=-0.500000$ во всех шести случаях ✓, что подтверждает и период, и обе ветви.