Чему равен период функции y = 2 cos(3x - 2π)?

Step-by-step solution

1. 1

   Определим три параметра. Сравнивается с общей формой $y = A\cos(bx - c)$: амплитуда $A = 2$, коэффициент при $x$ — $b = 3$, фазовый сдвиг $c = 2\pi$. Только один из этих параметров определяет период.

2. 2

   Используем формулу периода. Косинус завершает один цикл, когда его аргумент увеличивается на $2\pi$. Здесь аргумент — $3x - 2\pi$, он увеличивается на $2\pi$, когда $x$ увеличивается на $2\pi/3$:

   $3(x + p) - 2\pi = (3x - 2\pi) + 2\pi \;\Longrightarrow\; 3p = 2\pi \;\Longrightarrow\; p = \frac{2\pi}{3}$

3. 3

   Поясним, почему амплитуда не влияет на период. Множитель $2$ растягивает график по вертикали. Так как $2\cos\theta$ повторяется ровно тогда, когда повторяется $\cos\theta$, длина горизонтального цикла не меняется — более высокая волна не становится более длинной.

4. 4

   Поясним, почему фазовый сдвиг тоже не влияет. Вычитание $2\pi$ внутри аргумента сдвигает график вправо на $2\pi/3$, но сдвиг периодической функции не изменяет частоту повторения. Более того, $2\pi$ — это полный период косинуса, так что $\cos(3x - 2\pi) = \cos 3x$, и график фактически не сдвинут.

5. 5

   Запишем и проверим ответ. Период равен $\dfrac{2\pi}{3}$. Проверим напрямую: $y(0) = 2\cos(-2\pi) = 2$, а $y\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) = 2\cos(2\pi - 2\pi) = 2\cos 0 = 2$ ✓, а середина $y\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = 2\cos(\pi - 2\pi) = -2$ показывает полный размах между этими точками. Ошибочные ответы вроде $3\pi$ или $6\pi$ получаются при умножении на $b$ вместо деления.