Какая из этих функций является чётной? f(x) = sin(−3πx), f(x) = tg(3πx), f(x) = cos(5πx/4), f(x) = cosec(−πx/2).

Step-by-step solution

1. 1

   Сформулируем признак. Функция чётная, если $f(-x) = f(x)$ при любом $x$ из её области определения (график симметричен относительно оси $y$), и нечётная, если $f(-x) = -f(x)$ (график симметричен относительно начала координат). Значит, вся задача сводится к следующему: подставить $-x$ и посмотреть, с каким знаком вернётся функция.

2. 2

   Вспомним чётность основных тригонометрических функций. Косинус $\cos$ чётен: $\cos(-\theta) = \cos\theta$. Обратная к нему функция $\sec$ тоже чётна. А функции $\sin$, $\tan$, $\cot$, $\csc$ все нечётны: $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ и так далее. Линейный аргумент вида $kx$ этого не нарушает, потому что замена $x$ на $-x$ просто меняет знак у $kx$.

3. 3

   Проверим три нечётных кандидата.

   $\sin(-3\pi(-x)) = \sin(3\pi x) = -\sin(-3\pi x)$

   $\tan(3\pi(-x)) = \tan(-3\pi x) = -\tan(3\pi x)$

   $\csc\!\left(-\tfrac{\pi}{2}(-x)\right) = \csc\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right) = -\csc\!\left(-\tfrac{\pi}{2}x\right)$

   Каждая возвращает исходное выражение с противоположным знаком, поэтому все три нечётны, а не чётны.

4. 4

   Проверим кандидата с косинусом. Поскольку косинус — чётная функция,

   $\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}(-x)\right) = \cos\!\left(-\tfrac{5\pi}{4}x\right) = \cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}x\right) = f(x)$

   Значит, $f(-x) = f(x)$, и эта функция чётная.

5. 5

   Проверим численно. Возьмём $x = 0.3$: $\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}(0.3)\bigr) = \cos(1.1781) = 0.3827$ и $\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}(-0.3)\bigr) = \cos(-1.1781) = 0.3827$ ✓ — значения равны. Для варианта с тангенсом при том же $x$: $\tan(0.9\pi) = -0.3249$ против $\tan(-0.9\pi) = +0.3249$ — знаки противоположны, что подтверждает нечётность. Ответ: $f(x) = \cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}x\right)$.