Решите уравнение 3sin(0,5x − 3) + 1 = 3 при всех действительных x.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала выделяем сам синус. Пока синус закрыт множителем и сдвигом, никакие тригонометрические соображения не работают. Вычитаем $1$, затем делим на $3$:

   $3\sin(0.5x-3)=2\qquad\Longrightarrow\qquad \sin(0.5x-3)=\frac{2}{3}$

2. 2

   Убеждаемся, что решения существуют. Синус принимает значения только из $[-1,1]$, а $\tfrac{2}{3}\approx0.667$ лежит внутри этого отрезка, значит решения есть. (Если бы правая часть превышала $1$, уравнение не имело бы решений — такую проверку стоит делать до всяких преобразований.)

3. 3

   Выписываем обе серии общего решения. Обозначим $\theta=0.5x-3$; уравнение $\sin\theta=\tfrac23$ даёт две серии на каждый период, потому что синус принимает каждое значение один раз при возрастании и один раз при убывании:

   $\theta=\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+2\pi k\qquad\text{или}\qquad \theta=\pi-\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$

   Забыть про вторую серию — самая частая ошибка в таких задачах.

4. 4

   Возвращаемся от θ к x. Прибавляем $3$ и умножаем на $2$. Умножение на $2$ удваивает и $2\pi k$, превращая его в $4\pi k$: период функции $\sin(0.5x-3)$ по $x$ равен $\tfrac{2\pi}{0.5}=4\pi$, а не $2\pi$:

   $x=6+2\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+4\pi k\qquad\text{или}\qquad x=6+2\pi-2\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+4\pi k$

5. 5

   Считаем главные решения численно. $\arcsin\!\left(\tfrac23\right)\approx0.7297$, поэтому два базовых решения равны $x\approx6+1.4595=7.4595$ и $x\approx6+6.2832-1.4595=10.8237$.

6. 6

   Проверяем оба подстановкой. При $x\approx7.4595$: $0.5x-3\approx0.7297$ и $3\sin(0.7297)+1=3.0000$ ✓. При $x\approx10.8237$: $0.5x-3\approx2.4119$ и $3\sin(2.4119)+1=3.0000$ ✓. Прибавление к любому из них кратного $4\pi$ даёт то же самое значение.