Решить уравнение для a: 120² = 150² + a² – 2 × 150 × a × cos(30°).

Step-by-step solution

1. 1

   Распознаётся теорема косинусов, но неизвестное стоит не на той стороне. В формуле $c^{2}=b^{2}+a^{2}-2ba\cos C$ неизвестное $a$ встречается как во второй, так и в первой степени, поэтому уравнение становится квадратным относительно $a$, а не решается в один шаг. Следует ожидать до двух положительных решений — это двусмысленный случай (SSA), когда два разных треугольника соответствуют исходным данным.

2. 2

   Подставим известные значения. Так как $120^{2}=14400$, $150^{2}=22500$, а $\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}$, получаем:

   $14400=22500+a^{2}-2(150)a\cdot\frac{\sqrt3}{2}=22500+a^{2}-150\sqrt3\,a$

   Число 2 сокращается с знаменателем $\cos 30^{\circ}$, остаётся аккуратный коэффициент $150\sqrt3$.

3. 3

   Приведём к стандартному квадратному виду.

   $a^{2}-150\sqrt3\,a+8100=0$

   Поскольку $22500-14400=8100$.

4. 4

   Применим формулу корней квадратного уравнения и упростим иррациональности.

   $\left(150\sqrt3\right)^{2}=67500,\qquad 67500-4(8100)=35100,\qquad \sqrt{35100}=30\sqrt{39}$

   Значит,

   $a=\frac{150\sqrt3\pm 30\sqrt{39}}{2}=75\sqrt3\pm 15\sqrt{39}$

5. 5

   Вычислим значения приближённо. При $\sqrt3=1.7320508$ и $\sqrt{39}=6.2449980$:

   $75\sqrt3=129.9038,\qquad 15\sqrt{39}=93.6750$

   $a=129.9038+93.6750=223.5788\qquad\text{или}\qquad a=129.9038-93.6750=36.2288$

6. 6

   Проверим оба значения в исходном уравнении. Для $a=223.5788$: $22500+49987.5-2(150)(223.5788)(0.866025)=14400$ — верно. Для $a=36.2288$: $22500+1312.5-9412.5=14400$ — тоже верно. Оба значения положительны, значит, оба треугольника геометрически возможны и оба ответа нужно указать.