Решите уравнение 3 tg x + √3 = 0, записав общее решение, где k — целое число.

Step-by-step solution

1. 1

   Выразим тангенс. Перенесём константу и разделим на $3$:

   $\tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

   Удобно привести дробь к знакомому виду: $\dfrac{\sqrt3}{3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$, то есть $\tan x = -\dfrac{1}{\sqrt3}$.

2. 2

   Найдём опорный угол. $\tan\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ — это видно из треугольника с углами $30^{\circ}$–$60^{\circ}$–$90^{\circ}$ и сторонами $1$, $\sqrt3$, $2$. Значит, опорный угол равен $\dfrac{\pi}{6}$, то есть $30^{\circ}$, а не $\dfrac{\pi}{3}$, где $\tan = \sqrt3$.

3. 3

   По знаку определим расположение угла. Тангенс отрицателен во второй и четвёртой четвертях. Так как $\tan$ — нечётная функция, главное решение — просто опорный угол со знаком минус:

   $x = -\frac{\pi}{6}$

4. 4

   Прибавим период — но именно период тангенса. У тангенса период равен $\pi$, а не $2\pi$, и все решения описываются одним семейством:

   $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

   Запись $-\tfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ потеряла бы половину решений, а запись $\tfrac{\pi}{6} + \pi k$ дала бы $\tan x = +\tfrac{1}{\sqrt3}$, то есть неверный знак.

5. 5

   Проверка. При $k=0$: $\tan\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right) = -\tfrac{\sqrt3}{3}$, и $3\left(-\tfrac{\sqrt3}{3}\right) + \sqrt3 = -\sqrt3 + \sqrt3 = 0$ ✓. При $k=1$: $x = \tfrac{5\pi}{6}$, причём $\tan\tfrac{5\pi}{6} = -\tfrac{\sqrt3}{3}$ ✓ — решение во второй четверти, как и ожидалось.