Определите, возможно ли каждое из равенств для действительного числа m: cos(m) = 2, tan(m) = 2, cot(0) = m, csc(π) = m, sin(m) = −1,1, arcsec(m) = π/2, cot(π) = m, sin(m) = −0,9.

Step-by-step solution

1. 1

   Разделяем восемь утверждений на два типа. В пунктах (a), (b), (e) и (h) неизвестное стоит внутри функции, поэтому вопрос в том, попадает ли указанное значение в область значений функции. В пунктах (c), (d) и (g) неизвестное — это результат, поэтому вопрос в том, определена ли функция в данной точке. Пункт (f) — про область значений обратной функции.

2. 2

   Пользуемся областью значений синуса и косинуса для (a), (e) и (h). Для любого действительного $m$

   $-1\le\sin m\le 1,\qquad -1\le\cos m\le 1.$

   Поэтому $\cos(m)=2$ невозможно и $\sin(m)=-1.1$ невозможно, а вот $\sin(m)=-0.9$ возможно (например, при $m=\arcsin(-0.9)\approx-1.1198$).

3. 3

   Пользуемся областью значений тангенса для (b). Функция $\tan$ принимает на каждой ветви все действительные значения, поэтому $\tan(m)=2$ возможно: подходит $m=\arctan 2\approx 1.1071$, а также любое $m\approx 1.1071+k\pi$.

4. 4

   Смотрим, где обращаются в бесконечность котангенс и косеканс, для (c), (d) и (g). У обеих функций в знаменателе стоит $\sin$:

   $\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},\qquad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}.$

   Так как $\sin 0=0$ и $\sin\pi=0$, все три выражения $\cot(0)$, $\csc(\pi)$ и $\cot(\pi)$ не определены — это $\tfrac10$, $\tfrac10$ и $\tfrac{-1}{0}$. Никакое действительное $m$ не может равняться неопределённому выражению, поэтому (c), (d) и (g) невозможны.

5. 5

   Проверяем область значений арксеканса для (f). Арксеканс определяют с областью значений $\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right]$ — значение $\tfrac{\pi}{2}$ исключено намеренно, потому что $\sec\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac{1}{\cos(\pi/2)}=\tfrac10$ не определено. Значит, $\sec^{-1}(m)=\tfrac{\pi}{2}$ невозможно.

6. 6

   Собираем ответы. Возможны: (b) и (h). Невозможны: (a), (c), (d), (e), (f), (g). Полезно запомнить закономерность: ограниченные функции отпадают по величине, а обратные по значению (дробные) — там, где их знаменатель обращается в нуль.