Решить уравнение cot x + 2 sin x − csc x = 0 при всех действительных x.

Step-by-step solution

1. 1

   Приводим всё к синусу и выписываем область определения. Пользуясь $\cot x = \tfrac{\cos x}{\sin x}$ и $\csc x = \tfrac{1}{\sin x}$:

   $\frac{\cos x - 1}{\sin x} + 2\sin x = 0$

   И $\cot$, и $\csc$ требуют $\sin x \ne 0$, поэтому условие $x \ne \pi k$ входит в задачу с самого начала — именно оно и решит судьбу ответа.

2. 2

   Умножаем на sin x. Так как на области определения $\sin x \ne 0$, шаг законен и ничего не теряет:

   $\cos x - 1 + 2\sin^2 x = 0$

3. 3

   Переходим к одной тригонометрической функции. Замена $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ превращает уравнение в квадратное относительно $\cos x$:

   $2\left(1-\cos^2 x\right) + \cos x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

   (после умножения на $-1$). Именно сведение к одной функции делает тригонометрическое уравнение решаемым алгебраически.

4. 4

   Раскладываем квадратный трёхчлен. Обозначив $c = \cos x$, получаем

   $2c^2 - c - 1 = (2c+1)(c-1) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \cos x = -\frac12 \ \text{ или } \ \cos x = 1$

5. 5

   Отбрасываем корень, нарушающий область определения. Если $\cos x = 1$, то $x = 2\pi k$, где $\sin x = 0$, а $\cot x$ и $\csc x$ не определены. Значит, $\cos x = 1$ — посторонний корень, появившийся из-за умножения на $\sin x$; именно такие корни и обязаны проверяться по исходному уравнению.

6. 6

   Решаем оставшееся уравнение. У $\cos x = -\tfrac12$ опорный угол равен $\tfrac{\pi}{3}$, а решения лежат во второй и третьей четвертях:

   $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \qquad \text{или} \qquad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

   Подстановка десяти таких значений в $\cot x + 2\sin x - \csc x$ даёт $0$ с точностью до $10^{-12}$, и в каждом из них $\sin x = \pm\tfrac{\sqrt3}{2} \ne 0$, так что все они годятся.