Вычислите точное значение tan 315°.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим четверть и знак функции. $315^\circ$ находится между $270^\circ$ и $360^\circ$, то есть лежит в четвёртой четверти, где $x>0$, а $y<0$. Так как $\tan=\dfrac{\sin}{\cos}=\dfrac{y}{x}$ — числитель отрицателен, а знаменатель положителен, поэтому $\tan315^\circ$ обязательно отрицателен.

2. 2

   Находим эталонный угол. Ближайшая горизонтальная ось — это $360^\circ$:

   $360^\circ-315^\circ=45^\circ$

   Значит, эталонный угол равен $45^\circ$, и по модулю значение совпадает с $\tan45^\circ$.

3. 3

   Используем формулу для четвёртой четверти. Для угла вида $360^\circ-\theta$:

   $\tan\!\left(360^\circ-\theta\right)=-\tan\theta$

   (эквивалентно $\tan(-\theta)=-\tan\theta$, так как тангенс — нечётная функция с периодом $180^\circ$). При $\theta=45^\circ$:

   $\tan315^\circ=-\tan45^\circ$

4. 4

   Подставляем значение для специального угла. В треугольнике $45$–$45$–$90$ катеты равны, поэтому $\tan45^\circ=1$, и

   $\tan315^\circ=-1$

5. 5

   Проверим по координатам на единичной окружности. Точка при $315^\circ$ — $\left(\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$, значит

   $\tan315^\circ=\frac{-\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=-1\ \checkmark$

   Численно $-1$ с точностью до $10^{-12}$ ✓. Заметим, что $315^\circ=\tfrac{7\pi}{4}$ радиан, а поскольку период тангенса $180^\circ$, $\tan315^\circ=\tan135^\circ=-1$ тоже.