В треугольнике ABC (cos B + cos A cos C)/(sin B cos C) = a√3/b, где a = 3 и c = 2√3. Найдите sin A.

Step-by-step solution

1. 1

   Заменим $\cos B$ с помощью суммы углов треугольника. В любом треугольнике $A+B+C=\pi$, значит, $B=\pi-(A+C)$ и

   $\cos B=\cos\!\left(\pi-(A+C)\right)=-\cos(A+C)=-\left(\cos A\cos C-\sin A\sin C\right).$

   Такое преобразование стандартно, когда в тождестве для треугольника встречаются все три угла.

2. 2

   Упростим числитель. При сложении $\cos A\cos C$ оба слагаемых $\cos A\cos C$ сокращаются:

   $\cos B+\cos A\cos C=-\cos A\cos C+\sin A\sin C+\cos A\cos C=\sin A\sin C.$

   Таким образом, левая часть равенства принимает вид

   $\frac{\sin A\sin C}{\sin B\cos C}=\frac{\sin A}{\sin B}\cdot\tan C.$

3. 3

   Применим теорему синусов для связывания с правой частью. Так как $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$, получаем $\dfrac{\sin A}{\sin B}=\dfrac{a}{b}$, и условие переписывается как

   $\frac{a}{b}\tan C=\frac{a\sqrt3}{b}.$

   Поскольку стороны положительны, множитель $\dfrac{a}{b}$ сокращается, и

   $\tan C=\sqrt3\ \Longrightarrow\ C=\frac{\pi}{3}=60^{\circ},$

   единственное решение при $0<C<\pi$ и $\cos C\ne 0$. Обратите внимание: данное тождество определяет только $C$ — значения сторон пока не использовались.

4. 4

   Воспользуемся теоремой синусов для пары $(c,C)$.

   $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}\ \Longrightarrow\ \sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{4\sqrt3}=\frac{3}{4}.$

5. 5

   Проверим существование и единственность треугольника. Так как $a=3<c=2\sqrt3\approx 3.464$, угол $A$ меньше $C=60^{\circ}$, значит $A=\arcsin\tfrac34\approx 48.59^{\circ}$, а вариант $131.41^{\circ}$ невозможен (не хватит места для $C$). Тогда $B\approx 71.41^{\circ}$ и $b=\dfrac{c\sin B}{\sin C}\approx 3.7913=\dfrac{3+\sqrt{21}}{2}$; подставляя эти значения в исходное выражение, получаем $1.37055$ с обеих сторон.