Решите уравнение 6 sin⁴x + sin²x − 6 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Делаем замену и получаем квадратное уравнение. Величина $\sin x$ входит только в чётных степенях, поэтому положим $u=\sin^2x$:

   $6u^2+u-6=0$

   Замена заодно накладывает ограничение, о котором само квадратное уравнение ничего не знает: из $u=\sin^2x$ следует $0\le u\le 1$.

2. 2

   Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $\Delta=1^2-4(6)(-6)=1+144=145$ (полным квадратом не является), поэтому

   $u=\frac{-1\pm\sqrt{145}}{12}$

3. 3

   Отбрасываем посторонний корень. Так как $\sqrt{145}\approx 12.0416$,

   $u_1=\frac{-1+\sqrt{145}}{12}\approx 0.9201329,\qquad u_2=\frac{-1-\sqrt{145}}{12}\approx -1.0868$

   Условию $0\le u\le 1$ удовлетворяет только $u_1$; корень $u_2$ отрицателен, а квадрат отрицательным быть не может, поэтому он отбрасывается. (Если бы и $u_1$ превысил $1$, уравнение вообще не имело бы решений.)

4. 4

   Извлекаем квадратный корень и находим $\sin x$.

   $\sin x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{145}-1}{12}}\approx \pm 0.9592356$

   Оставить нужно оба знака, потому что $\sin^2 x$ не хранит информацию о знаке.

5. 5

   Записываем общее решение. Два варианта знака объединяются в стандартную серию для уравнения с синусом:

   $x=n\pi\pm\arcsin\!\left(\sqrt{\frac{\sqrt{145}-1}{12}}\right),\qquad n\in\mathbb{Z}$

   Численно $\arcsin(0.9592356)\approx 1.2843$ рад $\approx 73.58^{\circ}$, так что решения — это $x\approx n\pi\pm 1.2843$.

6. 6

   Проверяем. При $u=0.9201329$: $6u^2+u-6=6(0.8466445)+0.9201329-6=5.0798671+0.9201329-6=0$ ✓. А при $x=1.2843$ получаем $\sin x=0.9592356$, то есть $\sin^2x=u$, как и требовалось.