Дано sin(θ) = 0,80. Найдите угол θ в градусах и радианах.

Step-by-step solution

1. 1

   Применим обратный синус к обеим частям. Операцией, обратной синусу, является $\sin^{-1}$ (arcsin):

   $\theta=\sin^{-1}(0.80)$

   Главный диапазон значений — $-90^\circ\le\theta\le90^\circ$, поэтому получаем единственный острый угол.

2. 2

   Проверим допустимость значения. Значение синуса по модулю не превышает $1$, а $0{,}80$ лежит в пределах $[-1,1]$, значит, вещественный угол существует. (Если бы подставили, например, $1{,}2$, решения не было бы — полезно проверить это до вычислений.)

3. 3

   Оценим результат до вычислений. $\sin45^\circ\approx0.707$, а $\sin60^\circ\approx0.866$, и $0{,}80$ находится между ними, значит, $\theta$ должен лежать в диапазоне от $45^\circ$ до $60^\circ$. Такая оценка помогает избежать ошибок, если калькулятор стоит в радианах.

4. 4

   Вычислим угол в градусах.

   $\theta=\sin^{-1}(0.80)=53.1301^\circ\approx53.13^\circ$

   Результат попадает в ожидаемый диапазон $45^\circ$–$60^\circ$ ✓.

5. 5

   Переведём в радианы. Умножим на $\dfrac{\pi}{180}$:

   $53.1301\times\frac{\pi}{180}=0.9273\ \text{рад}$

   Для проверки: $0.9273$ чуть больше $\tfrac{\pi}{4}=0.7854$ и меньше $\tfrac{\pi}{3}=1.0472$, что согласуется с результатом в градусах.

6. 6

   Узнаем особый треугольник. $0.80=\tfrac{4}{5}$, значит, это классический прямоугольный треугольник $3$-$4$-$5$: угол напротив катета длиной $4$. Его косинус $\tfrac35=0.6$, а тангенс $\tfrac43$; действительно, $\tan(53.13^\circ)=1.3333$ ✓. Проверяя обратно: $\sin(0.9273)=0.80000$ ✓.