Вычислить arctan(15/66,67), ответ в градусах и радианах.

Step-by-step solution

1. 1

   Понимание, что возвращает обратный тангенс. $\arctan t$ — это такой угол $\theta$, что $\tan\theta = t$ при $-90^{\circ}<\theta<90^{\circ}$. В отличие от $\arcsin$ и $\arccos$, область определения у арктангенса — все действительные числа, поэтому проверять допустимость значения не требуется. В прикладных задачах выражение $\arctan\frac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}$ позволяет восстановить острый угол прямоугольного треугольника по его катетам.

2. 2

   Сократим отношение до десятичной дроби. Сначала делим, затем берём тригонометрическую функцию:

   $\frac{15}{66.67}=0.2249887\ldots\approx0.2250$

   Задача сводится к вычислению $\arctan(0.2250)$.

3. 3

   Оценим порядок ответа. Поскольку $\tan0^{\circ}=0$, а $\tan 45^{\circ}=1$, тангенс $0{,}225$ даёт угол заметно меньше $45^{\circ}$. Кроме того, для малых углов $\tan\theta\approx\theta$ (в радианах), значит, ожидаем примерно $0,225$ рад $\approx13^{\circ}$. Такая оценка помогает не спутать режимы калькулятора.

4. 4

   Вычислим в радианах.

   $\arctan(0.2249887)=0.2213037\ \text{рад}\approx0.2213\ \text{рад}$

   Как и ожидалось, результат немного меньше исходного $0,225$, так как $\tan\theta>\theta$ для малых положительных $\theta$.

5. 5

   Переведём в градусы. Умножаем на $\dfrac{180}{\pi}$:

   $0.2213037\times\frac{180}{\pi}=12.6798^{\circ}\approx12.68^{\circ}$

6. 6

   Проверим обратным вычислением. $\tan(12.6798^{\circ})=0.224989$, что совпадает с $\tfrac{15}{66.67}=0.224989$ до шести знаков после запятой — проверка пройдена ✓.