У кругового сектора центральный угол π/3 радиан и радиус 2 фута. Найдите длину дуги s и площадь сектора A, округлив до тысячных.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем формулы для сектора. Для центрального угла $\theta$ в радианах:

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   Эти формулы отражают, что сектор составляет долю $\theta/(2\pi)$ от полной длины окружности $2\pi r$ и полной площади круга $\pi r^2$.

2. 2

   Вычислим длину дуги.

   $s=r\theta=2\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}\approx 2.094\ \text{ft}$

3. 3

   Вычислим площадь сектора. Сначала возведём радиус в квадрат, затем разделим пополам:

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(2)^2\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac12(4)\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}\approx 2.094\ \text{ft}^2$

4. 4

   Запишем оба ответа с округлением.

   $\boxed{s\approx 2.094\ \text{ft},\qquad A\approx 2.094\ \text{ft}^2}$

5. 5

   Проверим по формуле A = ½rs. Если выразить $\theta$, получаем $A=\tfrac12 rs$, и $\tfrac12(2)\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{2\pi}{3}$ — это точно совпадает с найденной выше площадью.

6. 6

   Почему оба ответа здесь совпадают численно. Формулы $A=\tfrac12 r^2\theta$ и $s=r\theta$ отличаются множителем $\tfrac12 r$, который равен $1$ ровно при $r=2$. Такое совпадение характерно только для радиуса $2$ и не сохраняется для других радиусов — при этом размерности всё равно разные ($\text{ft}$ и $\text{ft}^2$).