Решить уравнение cos(2x − π/3) + cos(x) = 1/2 при x из промежутка [0, 2π).

Step-by-step solution

1. 1

   Раскроем косинус разности. По формуле $\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$ с учётом $\cos\tfrac\pi3=\tfrac12$, $\sin\tfrac\pi3=\tfrac{\sqrt3}{2}$: $\frac12\cos 2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x+\cos x = \frac12.$

2. 2

   Выразим всё через sin x и cos x. Подставим $\cos 2x = 2c^2-1$ и $\sin 2x = 2sc$ (обозначив $c=\cos x$, $s=\sin x$): $\frac{2c^2-1}{2}+\sqrt3\,sc+c = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad c^2+c-1 = -\sqrt3\,sc.$

3. 3

   Возведём в квадрат, чтобы убрать синус, и отметим риск. Заменяя $s^2$ на $1-c^2$: $(c^2+c-1)^2 = 3c^2(1-c^2) \quad\Longrightarrow\quad 4c^4+2c^3-4c^2-2c+1 = 0.$ Возведение в квадрат способно породить корни, удовлетворяющие уравнению четвёртой степени, но не исходному, поэтому каждого кандидата придётся проверить в конце.

4. 4

   Решим уравнение четвёртой степени численно. На отрезке $[-1,1]$ оно имеет ровно два корня: $c \approx 0.3369592 \quad\text{и}\quad c \approx 0.8941126.$ Ни один из них не выражается через радикалы красиво, поэтому ответ будет численным.

5. 5

   Переведём значения косинуса в углы и отсеем лишние. Каждое $c$ даёт два угла на $[0,2\pi)$: при $c=0.3369592$ это $x=1.227111$ или $5.056074$; при $c=0.8941126$ это $x=0.464351$ или $5.818835$. Подстановка в исходное уравнение показывает, что значение $\tfrac12$ дают только $x=1.227111$ и $x=5.818835$ — два других являются посторонними корнями, появившимися при возведении в квадрат (они удовлетворяют уравнению с противоположным знаком $c^2+c-1=+\sqrt3 sc$).

6. 6

   Проверим оставшиеся корни. При $x=1.227111$: $\cos(1.407024)+\cos(1.227111) = 0.163041+0.336959 = 0.500000$. При $x=5.818835$: $\cos(10.590472)+\cos(5.818835) = -0.394113+0.894113 = 0.500000$. Оба верны с точностью до показанных знаков.