Решите уравнение sin(x) × sin(x) = 1/2 и запишите общее решение.

Step-by-step solution

1. 1

   Записываем произведение как квадрат. Слева стоит $\sin x$, умноженный сам на себя, поэтому

   $\sin^{2}x=\frac12.$

   Такая запись важна: она делает очевидным следующий шаг — извлечение корня с двумя знаками.

2. 2

   Извлекаем корень, сохраняя оба знака. Из $\sin^{2}x=\tfrac12$ следует

   $\sin x=\pm\frac{1}{\sqrt2}=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$

   Отбросив отрицательную ветвь, мы потеряли бы половину решений. Для значения $\tfrac{\sqrt2}{2}$ опорный угол равен $\tfrac{\pi}{4}$ (то есть $45^{\circ}$), так что все решения отстоят от осей ровно на $45^{\circ}$.

3. 3

   Выписываем четыре серии — по одной на каждую четверть. Для $\sin x=+\tfrac{\sqrt2}{2}$ решения на $[0,2\pi)$ — это $\tfrac{\pi}{4}$ и $\tfrac{3\pi}{4}$, а для $\sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ — это $\tfrac{5\pi}{4}$ и $\tfrac{7\pi}{4}$. Добавляя к каждому $2k\pi$, получаем

   $x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\ \frac{3\pi}{4}+2k\pi,\ \frac{5\pi}{4}+2k\pi,\ \frac{7\pi}{4}+2k\pi.$

4. 4

   Объединяем четыре серии в одну. Четыре базовых угла $\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}$ расположены равномерно, через $\tfrac{\pi}{2}$, поэтому всё множество решений сворачивается в одну арифметическую серию:

   $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}\quad(45^{\circ}+90^{\circ}k).$

   Такая компактная форма и записывается проще, и гораздо удобнее, когда уравнение — лишь часть большой задачи.

5. 5

   Перепроверяем через формулу двойного угла. Так как $\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, уравнение равносильно

   $\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac12\;\Longrightarrow\;\cos 2x=0\;\Longrightarrow\;2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\Longrightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}.$

   Путь через тождество сразу выводит на объединённую серию и независимо подтверждает ответ ✓.