Какой угол имеет косинус −0,8? Найдите все решения от 0° до 360°.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, в каких четвертях возможны решения. Косинус соответствует абсциссе точки на единичной окружности, поэтому отрицательный косинус означает, что угол расположен слева от вертикальной оси — то есть во II или III четверти. Следовательно, на интервале одного оборота будет ровно два решения.

2. 2

   Вычислим вспомогательный угол по модулю значения. Вспомогательный угол определяется по $+0.8$, так как он измеряет острый угол до ближайшей горизонтали:

   $\alpha = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ$

   (Это известный угол из треугольника $3$–$4$–$5$, так как $0.8 = 4/5$.)

3. 3

   Расположим вспомогательный угол во II четверти. Во II четверти искомый угол равен $180^\circ$ минус вспомогательный угол:

   $\theta_1 = 180^\circ - 36.87^\circ = 143.13^\circ$

   Именно это значение обычно возвращает калькулятор при вычислении $\cos^{-1}(-0.8)$, поскольку область значений арккосинуса — $[0^\circ, 180^\circ]$.

4. 4

   Расположим угол в III четверти. В III четверти угол равен $180^\circ$ плюс вспомогательный угол:

   $\theta_2 = 180^\circ + 36.87^\circ = 216.87^\circ$

   Эквивалентно $\theta_2 = 360^\circ - \theta_1$, так как косинус — чётная функция.

5. 5

   Переведём значения в радианы и проверим. Умножая на $\pi/180$:

   $\theta_1 \approx 2.498 \text{ рад}, \qquad \theta_2 \approx 3.785 \text{ рад}$

   Проверяя обратным вычислением: $\cos(143.13^\circ) = -0.8000$ и $\cos(216.87^\circ) = -0.8000$, оба значения совпадают до четвёртого знака. Прибавляя любое целое число оборотов ($360^\circ$), получаем остальные решения.