Решите уравнение 2sin(x) − 1 = 0 для всех действительных x.

Step-by-step solution

1. 1

   Выражаем синус. Прибавим $1$ и разделим на $2$:

   $2\sin x=1\qquad\Longrightarrow\qquad \sin x=\frac{1}{2}$

   Так как $\tfrac12$ лежит в $[-1,1]$, решения существуют.

2. 2

   Находим угол в первой четверти. Значение $\tfrac12$ — табличное: из треугольника с углами $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ следует $\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12$, поэтому $x=\tfrac{\pi}{6}$ — одно из решений, и калькулятор здесь не нужен.

3. 3

   Ищем второе решение на том же обороте. Синус положителен и в первой, и во второй четверти, причём $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$. Поэтому отражённый угол

   $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$

   тоже подходит. Потеря этой серии — самая частая ошибка в уравнениях с синусом.

4. 4

   Продолжаем решения по периоду. Функция $\sin$ повторяется через $2\pi$, поэтому любое решение — это один из двух базовых углов, сдвинутый на целое число оборотов:

   $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\qquad\text{или}\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

5. 5

   Почему эти две серии не сливаются в одну. Расстояние от $\tfrac{\pi}{6}$ до $\tfrac{5\pi}{6}$ равно $\tfrac{2\pi}{3}$, а это не кратно $2\pi$, поэтому ни одна серия не содержится в другой — нужны обе.

6. 6

   Проверяем подстановкой. $2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)-1=2(0.5)-1=0$ ✓ и $2\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)-1=2(0.5)-1=0$ ✓. Проверка при $k=-2$ и $k=3$ в обеих сериях тоже даёт $0$ с машинной точностью ✓.