Лестница приставлена к стене. Её верх касается стены на высоте 24 фута над землёй, а основание отстоит от стены на 7 футов. Найдите длину лестницы и угол, который она образует с землёй.

Step-by-step solution

1. 1

   Сведём условие к прямоугольному треугольнику. Стена вертикальна, земля горизонтальна, поэтому угол между ними равен $90^\circ$. Лестница — гипотенуза, высота подъёма по стене ($24$ фута) — катет, противолежащий искомому углу при земле, а расстояние до стены ($7$ футов) — катет, прилежащий к нему. Один раз сделанный чертёж сразу снимает вопрос, какая сторона чему соответствует.

2. 2

   Найдём длину по теореме Пифагора. Для катетов $7$ и $24$ и гипотенузы $c$ получаем

   $c^2=7^2+24^2=49+576=625$
   $c=\sqrt{625}=25\text{ фута}$

   Длина оказалась целым числом, потому что $(7,24,25)$ — пифагорова тройка: верный признак того, что условие задачи подобрано специально.

3. 3

   Выберем ту тригонометрическую функцию, которая использует только исходные данные. Пусть $\theta$ — угол при земле. Даны как раз противолежащий ($24$) и прилежащий ($7$) катеты, а отношение именно этих двух величин — тангенс:

   $\tan\theta=\frac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}=\frac{24}{7}$

   Если считать через тангенс, то ошибка, допущенная на шаге 2, не перейдёт в ответ для угла.

4. 4

   Возьмём арктангенс и получим сам угол.

   $\theta=\arctan\!\left(\frac{24}{7}\right)=\arctan(3.4286)\approx 73.74^\circ$

   Проверьте, что калькулятор стоит в градусном режиме: в радианном те же нажатия дадут $1.287$.

5. 5

   Проверим угол через другое отношение. Через уже найденную гипотенузу

   $\sin\theta=\frac{24}{25}=0.96,\qquad \cos\theta=\frac{7}{25}=0.28$

   И $\arcsin(0.96)$, и $\arccos(0.28)$ дают $73.74^\circ$, а равенство $0.96^2+0.28^2=0.9216+0.0784=1$ подтверждает, что треугольник найден верно. Крутой угол согласуется и с физическим смыслом: лестница поднимается на $24$ фута, отходя от стены всего на $7$ футов.