Вычислить arctan(0,003), дать ответ в радианах и градусах.

Step-by-step solution

1. 1

   Формулируем задачу. $\arctan(0.003)$ — это такой угол $\theta$ из промежутка $\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)$, для которого $\tan\theta=0.003$. Область определения арктангенса — все действительные числа, поэтому проверка области не требуется — в отличие от арксинуса или арккосинуса.

2. 2

   Используем правило малых углов для оценки. Ряд Тейлора:

   $\arctan t=t-\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}-\cdots$

   Для $t=0.003$ второй член равен $\tfrac{(0.003)^3}{3}=9\times10^{-9}$ — величина пренебрежимо малая. Значит, $\arctan(0.003)\approx0.003$ рад, с точностью до восьмого знака после запятой.

3. 3

   Записываем значение в радианах.

   $\arctan(0.003)=0.0029999910\ \text{радиан}$

   Именно так и предсказывает ряд: $0.003-0.000000009=0.002999991$ — ✓. Ответ чуть меньше исходного числа, так как $\tan\theta>\theta$ для малых положительных $\theta$.

4. 4

   Переводим в градусы. Умножаем на $\dfrac{180}{\pi}=57.29578$:

   $0.002999991\times57.29578=0.171887^\circ\approx0.1719^\circ$

   Это примерно $10,3$ угловых минуты — очень малый угол, встречающийся, например, при расчёте уклонов и допусков на выравнивание.

5. 5

   Поясняем практический смысл. Тангенс $0.003$ — это уклон $3$ к $1000$, и правило малых углов говорит: для малых уклонов угол в радианах равен уклону. Умножение на $57{,}3$ сразу даёт градусы — поэтому инженеры и геодезисты считают уклон и угол почти равными при малых значениях.

6. 6

   Проверяем обратным вычислением. $\tan(0.002999991)=0.00300000$ — ✓, исходное число восстановлено до восьмого знака, и $\tan(0.171887^\circ)=0.003000$ — ✓.