Решить уравнение sin(2x) · cos(2x) = −1/2 для всех действительных x.

Step-by-step solution

1. 1

   Узнаём в произведении половину синуса. Произведение $\sin\theta\cos\theta$ никогда не решают напрямую — его всегда сворачивают в один синус по формуле $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$. Здесь $\theta = 2x$, поэтому $2\sin(2x)\cos(2x) = \sin(4x)$.

2. 2

   Умножаем обе части на 2, чтобы применить формулу.

   $2\sin(2x)\cos(2x) = 2\left(-\frac{1}{2}\right) \quad\Longrightarrow\quad \sin(4x) = -1$

   Теперь в уравнении одна тригонометрическая функция от одного аргумента — как раз тот вид, который требуется для формулы общего решения.

3. 3

   Решаем sin(4x) = −1. Синус достигает своего минимума $-1$ только в самой нижней точке каждого периода, при угле $\tfrac{3\pi}{2}$ плюс целое число оборотов. Так как $-1$ — крайнее значение, семейство решений одно, а не два, как обычно:

   $4x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

4. 4

   Делим на 4 и выражаем x. Делится каждое слагаемое, в том числе период:

   $x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{2}k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

   Период сжался с $2\pi$ до $\tfrac{\pi}{2}$, поэтому на любом промежутке длиной $2\pi$ решений четыре, а не одно.

5. 5

   Проверяем базовое решение. При $x = \tfrac{3\pi}{8}$ имеем $2x = \tfrac{3\pi}{4}$, где $\sin\tfrac{3\pi}{4} = \tfrac{\sqrt2}{2}$ и $\cos\tfrac{3\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$. Их произведение равно $-\tfrac{2}{4} = -\tfrac12$ — ровно правая часть.