Найдите значение arctan(3716/3936), ответ дайте в радианах и градусах.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала сократим дробь. Оба числа делятся на $4$:

   $\gcd(3716,3936)=4\ \Longrightarrow\ \frac{3716}{3936}=\frac{929}{984}$

   Сокращение удобно сделать сразу — так проще проверить, не является ли значение табличным.

2. 2

   Проверим, является ли значение табличным для тангенса. Известные значения: $0$, $\tfrac{\sqrt3}{3}=0.5774$, $1$ и $\sqrt3=1.7321$. Здесь

   $\frac{929}{984}=0.944106$

   — это не одно из них, а $929$ — простое число, значит, скрытого радикала тоже нет. Точного значения через элементарные углы не существует, потребуется калькулятор.

3. 3

   Оценим, в каком диапазоне находится угол. Так как $0.944106<1$, а тангенс возрастает на $(0,\tfrac{\pi}{2})$, угол меньше $\arctan 1=45^{\circ}$ — но не намного, ведь отношение близко к $1$. Ожидается угол чуть больше $40$ градусов.

4. 4

   Вычислим значение в радианах.

   $\arctan(0.944106)=0.7566554\ \text{rad}$

5. 5

   Переведём в градусы. Умножим на $\tfrac{180}{\pi}$:

   $0.7566554\times\frac{180}{\pi}=43.3532^{\circ}$

   Это чуть меньше $45^{\circ}$, как и ожидалось на предыдущем шаге.

6. 6

   Проверим обратным вычислением. $\tan(0.7566554)=0.944106$, что совпадает с $\tfrac{929}{984}$ до шести знаков после запятой. Для дополнительной проверки: $0.7566554$ рад немного меньше $\tfrac{\pi}{4}=0.785398$ рад, что соответствует углу чуть меньше $45^{\circ}$.