Решить уравнение cos(2x − π/3) + cos x = 0,5 при x из промежутка [0, 2π).

Step-by-step solution

1. 1

   Свернём два косинуса в произведение. По формуле $\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ при $A=2x-\frac{\pi}{3}$ и $B=x$: $\frac{A+B}{2}=\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6},\qquad \frac{A-B}{2}=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6},$ поэтому уравнение принимает вид $2\cos\!\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac12,\quad\text{т. е.}\quad \cos\!\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac14.$

2. 2

   Убедимся, что решения в замкнутом виде нет. Частоты двух косинусов относятся как $3:1$, поэтому произведение не сводится к одной тригонометрической функции одного угла. Замена $t=\tan\frac{x}{2}$ превращает уравнение в уравнение четвёртой степени относительно $t$ с иррациональными корнями, так что честный путь здесь — численный.

3. 3

   Оценим количество решений. По формуле двойного угла $\cos(2x-\tfrac{\pi}{3})=\tfrac12\cos 2x+\tfrac{\sqrt3}{2}\sin 2x$, значит левая часть — гладкая $2\pi$-периодическая комбинация первых двух гармоник. Табулирование на $[0,2\pi)$ показывает, что она меняется в пределах от $-1.583246$ до $1.891702$ и пересекает уровень $0.5$ ровно дважды, так что решений ожидается два.

4. 4

   Зажмём оба пересечения и уточним делением пополам. Положим $f(x)=\cos(2x-\tfrac{\pi}{3})+\cos x-0.5$. Тогда $f(1.2)=+0.078629$ и $f(1.3)=-0.214508$ зажимают первое пересечение, а $f(5.8)=-0.042926$ и $f(5.9)=+0.187084$ — второе. Деление каждого промежутка пополам до полной двойной точности даёт $x_{1}=1.227110981,\qquad x_{2}=5.818834845.$

5. 5

   Подставим оба корня обратно. При $x_{1}=1.227110981$: $\cos(2x_{1}-\tfrac{\pi}{3})=0.163041$ и $\cos x_{1}=0.336959$, а $0.163041+0.336959=0.500000$. При $x_{2}=5.818834845$: $\cos(2x_{2}-\tfrac{\pi}{3})=-0.394113$ и $\cos x_{2}=0.894113$, а $-0.394113+0.894113=0.500000$. Оба корня подтверждаются до шести знаков.

6. 6

   Переведём в градусы и запишем общее решение. $x_{1}\approx 70.3083^\circ$ и $x_{2}\approx 333.3947^\circ$. Так как всё уравнение имеет период $2\pi$, любое решение задаётся формулами $x\approx 1.227111+2k\pi\quad\text{или}\quad x\approx 5.818835+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$