В треугольнике ABC (cos B + cos A cos C)/(sin B cos C) = a√3 / b, где a = 3 и c = 2√3. Найдите sin A.

Step-by-step solution

1. 1

   Используем сумму углов, чтобы выразить $B$ через $A$ и $C$. В любом треугольнике $A+B+C=\pi$, значит, $B=\pi-(A+C)$, тогда

   $\cos B=-\cos(A+C)=\sin A\sin C-\cos A\cos C.$

   Именно эта подстановка позволяет упростить сложный числитель.

2. 2

   Упрощаем числитель.

   $\cos B+\cos A\cos C=\left(\sin A\sin C-\cos A\cos C\right)+\cos A\cos C=\sin A\sin C.$

   Таким образом, левая часть равенства принимает вид

   $\frac{\sin A\sin C}{\sin B\cos C}.$

3. 3

   Преобразуем правую часть с помощью теоремы синусов. Поскольку $\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin A}{\sin B}$,

   $\frac{a\sqrt{3}}{b}=\frac{\sqrt{3}\sin A}{\sin B}.$

4. 4

   Сокращаем и выражаем $C$. Приравниваем обе части и сокращаем общий множитель $\dfrac{\sin A}{\sin B}$ (в треугольнике он не равен нулю):

   $\frac{\sin C}{\cos C}=\sqrt{3}\ \Longrightarrow\ \tan C=\sqrt{3}\ \Longrightarrow\ C=\frac{\pi}{3},$

   так как $C$ лежит в $(0,\pi)$ и $\cos C\neq 0$, чтобы исходное выражение было определено.

5. 5

   Применяем теорему синусов с данными сторонами. При $a=3$, $c=2\sqrt3$ и $\sin C=\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$:

   $\sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\sqrt3}=\frac{\frac{3\sqrt3}{2}}{2\sqrt3}=\frac{3}{4}.$

6. 6

   Проверяем корректность треугольника. Так как $a=3<c=2\sqrt3\approx 3.464$, угол $A$ должен быть меньше $C=60^\circ$; действительно, $\arcsin\tfrac34\approx 48.6^\circ<60^\circ$, значит, берётся острое значение и других решений нет.