Какое из выражений равно tg(5π/6): tg(−π/6), ctg(5π/6), tg(7π/6) или tg(−5π/6)?

Step-by-step solution

1. 1

   Определяем положение угла и его точное значение. Угол $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ лежит во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен, поэтому тангенс отрицателен. Опорный угол равен $\pi-\frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$, значит $\tan\frac{5\pi}{6} = -\tan\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt3} \approx -0.5774.$

2. 2

   Проверяем tg(−π/6), пользуясь нечётностью тангенса. Верно $\tan(-\theta) = -\tan\theta$, поэтому $\tan\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\tan\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt3}.$ Это точное совпадение.

3. 3

   Отбрасываем ctg(5π/6). Котангенс — обратная величина, а не та же функция: $\cot\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{-1/\sqrt3} = -\sqrt3 \approx -1.7321$. Знак тот же, а модуль не тот.

4. 4

   Отбрасываем tg(7π/6). У тангенса период $\pi$, поэтому $\tan\frac{7\pi}{6} = \tan\!\left(\frac{7\pi}{6}-\pi\right) = \tan\frac{\pi}{6} = +\frac{1}{\sqrt3}$. Этот угол лежит в третьей четверти, где тангенс положителен, — знак не тот.

5. 5

   Отбрасываем tg(−5π/6). По нечётности $\tan\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\tan\frac{5\pi}{6} = +\frac{1}{\sqrt3}$ — снова не тот знак, а по сути число, противоположное искомому.

6. 6

   Записываем ответ и общее правило. Подходит только $\tan\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)$. В общем случае $\tan\theta = \tan(\theta+k\pi)$ при любом целом $k$, а здесь $\frac{5\pi}{6}-\pi = -\frac{\pi}{6}$ — эти два угла отличаются ровно на один период.