Покажите, что tg 30° = √3 / 3, и объясните, почему это значение не равно √3.

Step-by-step solution

1. 1

   Начнём с определения тангенса. Тангенс — не отдельное значение, которое надо зубрить, а отношение:

   $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

   Поэтому точное значение $\tan30^\circ$ вытекает из точных синуса и косинуса.

2. 2

   Вспомним значения из треугольника 30-60-90. В прямоугольном треугольнике с углами $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ стороны относятся как $1:\sqrt3:2$, откуда

   $\sin30^\circ=\frac{1}{2},\qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$

3. 3

   Составим отношение и сократим. Деление дробей — это умножение на обратную:

   $\tan30^\circ=\frac{\tfrac12}{\tfrac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$

   Двойки сокращаются, и остаётся $\tfrac{1}{\sqrt3}$.

4. 4

   Избавимся от иррациональности в знаменателе. Запись $\tfrac{1}{\sqrt3}$ верна, но по традиции её переписывают без радикала внизу:

   $\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$

   Итак, $\tan30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3}$, причём $\tfrac{1}{\sqrt3}$ и $\tfrac{\sqrt3}{3}$ — это одно и то же число, а не два разных ответа.

5. 5

   Объясним типичную путаницу с корнем из трёх. Число $\sqrt3$ — это $\tan60^\circ$: при $60^\circ$ катеты меняются ролями, и $\tan60^\circ=\frac{\sin60^\circ}{\cos60^\circ}=\frac{\sqrt3/2}{1/2}=\sqrt3$. Эти два значения взаимно обратны: $\tan30^\circ\cdot\tan60^\circ=1$.

6. 6

   Оценим величину — это решает вопрос мгновенно. $\tfrac{\sqrt3}{3}\approx0.5774$, что меньше $\tan45^\circ=1$, — верно, ведь $30^\circ<45^\circ$. А $\sqrt3\approx1.732$ больше $1$, поэтому тангенсом угла меньше $45^\circ$ быть никак не может ✓.