Вычислить cos(2π/9) · cos(4π/9) · cos(8π/9).

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем удвоение углов. Каждый следующий угол в два раза больше предыдущего: $\tfrac{2\pi}{9}\to\tfrac{4\pi}{9}\to\tfrac{8\pi}{9}$. Обозначим $x=\tfrac{2\pi}{9}$ — тогда произведение превращается в $\cos x\cos2x\cos4x$. Такая цепочка удобно сворачивается с помощью формулы для синуса двойного угла.

2. 2

   Вспоминаем свёртывающую формулу. Если домножить на $\sin x$ и последовательно применять $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$, получаем

   $\cos x\cos2x\cos4x=\frac{\sin8x}{8\sin x}$

   Каждое удвоение даёт множитель $2$, поэтому для трёх косинусов в знаменателе появляется $8$.

3. 3

   Подставляем $x=\tfrac{2\pi}{9}$. Тогда $8x=\tfrac{16\pi}{9}$, и

   $\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}\cos\frac{8\pi}{9}=\frac{\sin\frac{16\pi}{9}}{8\sin\frac{2\pi}{9}}$

4. 4

   Упрощаем синус в числителе. Поскольку $\tfrac{16\pi}{9}=2\pi-\tfrac{2\pi}{9}$ и $\sin(2\pi-\theta)=-\sin\theta$:

   $\sin\frac{16\pi}{9}=-\sin\frac{2\pi}{9}$

   Именно на этом шаге происходит сокращение — числитель становится противоположным знаменателю.

5. 5

   Сокращаем и завершаем вычисление.

   $\frac{-\sin\frac{2\pi}{9}}{8\sin\frac{2\pi}{9}}=-\frac{1}{8}$

   Сокращение корректно, так как $\sin\tfrac{2\pi}{9}\neq0$.

6. 6

   Проверяем численно и анализируем знак. Прямой подсчёт: $0.766044\times0.173648\times(-0.939693)=-0.125$, что совпадает с $-\tfrac18$ с точностью до $10^{-15}$. Знак верный: $\tfrac{8\pi}{9}$ чуть меньше $\pi$, то есть во второй четверти, где косинус отрицателен, а остальные два множителя положительны.