Решить уравнение 2 sin(2θ + π/4) − 1 = 0 при θ от 0 включительно до 2π не включая.

Step-by-step solution

1. 1

   Выражаем синус.

   $\sin\left(2\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}.$

2. 2

   Делаем замену для всего аргумента и пересчитываем промежуток. Положим $t=2\theta+\tfrac{\pi}{4}$. Когда $\theta$ пробегает $[0,2\pi)$, величина $2\theta$ пробегает $[0,4\pi)$, и потому

   $\frac{\pi}{4}\le t<4\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{17\pi}{4}.$

   Пересчёт промежутка — как раз тот шаг, который чаще всего пропускают: удвоенный аргумент проходит два полных оборота, поэтому решений следует ждать примерно вдвое больше обычного.

3. 3

   Находим все t из растянутого промежутка, для которых sin t = 1/2. На одном периоде решениями будут $t=\tfrac{\pi}{6}$ и $t=\tfrac{5\pi}{6}$; прибавляя кратные $2\pi$ и оставляя те, что попали в $\left[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{17\pi}{4}\right)$:

   $t=\frac{5\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6},\ \frac{17\pi}{6},\ \frac{25\pi}{6}.$

   Заметим, что $t=\tfrac{\pi}{6}$ отбрасывается, так как $\tfrac{\pi}{6}<\tfrac{\pi}{4}$ — сдвиг действительно срезает одно решение в начале.

4. 4

   Возвращаемся к исходной переменной. Из $t=2\theta+\tfrac{\pi}{4}$ получаем $\theta=\dfrac{t-\pi/4}{2}$. Приводя разности к общему знаменателю $12$:

   $\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12},\quad \frac{13\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{23\pi}{12},\quad \frac{17\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{31\pi}{12},\quad \frac{25\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{47\pi}{12}.$

5. 5

   Делим каждое пополам и получаем θ.

   $\theta=\frac{7\pi}{24},\ \frac{23\pi}{24},\ \frac{31\pi}{24},\ \frac{47\pi}{24}.$

   Все четыре лежат в $[0,2\pi)$, поскольку $\tfrac{47\pi}{24}<\tfrac{48\pi}{24}=2\pi$ ✓.

6. 6

   Проверяем один корень. При $\theta=\tfrac{7\pi}{24}$: $2\theta+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{7\pi}{12}+\tfrac{3\pi}{12}=\tfrac{10\pi}{12}=\tfrac{5\pi}{6}$, и $2\sin\tfrac{5\pi}{6}-1=2(\tfrac12)-1=0$ ✓. Соседние решения отличаются попеременно на $\tfrac{16\pi}{24}$ и $\tfrac{8\pi}{24}$ — как раз та картина, которую даёт пара решений на период, повторённая дважды.