У круга сектор с центральным углом π/6 радиан и радиусом 4 м. Найдите длину дуги s и площадь сектора A, округлив до тысячных.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем формулы для сектора. Для центрального угла $\theta$ в радианах:

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   Эти формулы отражают, что сектор составляет долю $\theta/(2\pi)$ от полной длины окружности $2\pi r$ и полной площади круга $\pi r^2$.

2. 2

   Вычислим длину дуги.

   $s=r\theta=4\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{2\pi}{3}\approx 2.094\ \text{м}$

3. 3

   Вычислим площадь сектора. Сначала возведём радиус в квадрат, затем разделим пополам:

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(4)^2\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12(16)\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4\pi}{3}\approx 4.189\ \text{м}^2$

4. 4

   Запишем оба ответа с округлением.

   $\boxed{s\approx 2.094\ \text{м},\qquad A\approx 4.189\ \text{м}^2}$

5. 5

   Проверим по формуле A = ½rs. Если выразить $\theta$, получаем $A=\tfrac12 rs$, и $\tfrac12(4)\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{4\pi}{3}$ — это совпадает с найденной выше площадью.

6. 6

   Сравним с случаем π/3, r = 2 фута. Там длина дуги также была $\tfrac{2\pi}{3}$, так как при уменьшении $\theta$ вдвое и удвоении $r$ произведение $r\theta$ не меняется. Однако площадь зависит от $r^2\theta$, поэтому удвоение $r$ и уменьшение $\theta$ вдвое увеличивает площадь вдвое — с $\tfrac{2\pi}{3}$ до $\tfrac{4\pi}{3}$. Одинаковые дуги не означают одинаковые площади секторов.